3.1.3. Арифметические операции над функциями

1. Суммой (разностью) функций и называется функция ( ), определенная на множестве , значение которой в точке вычисляется по правилу

.

2. Произведением функций и называется функция , определенная на множестве , значение которой в точке вычисляется по правилу

.

3. Частным функций и называется функция , определенная на множестве , значение которой в точке вычисляется по правилу .

3.1.4. Композиция функций

Композицией функций и называется операция последовательного выполнения заданных функций. Обозначается эта операция следующим образом . В результате композиции получается новая функция , которая называется сложной функцией, полученной из функций и (рис. 2). Эта функция имеет областью определения множество и действует на элементы этого множества по правилу: .

39. Выясните, какие из функций являются сложными: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) .

40. Укажите функции и , из которых составлена сложная функция : 1) 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

3.1.5.Обратная функция

Пусть функция , заданная на множестве , является на нем монотонной ( т. е. возрастает или убывает), и удовлетворяет условию: . Тогда для любого найдется единственное число такое, что . Тем самым будет определена функция, которая каждому числу из множества сопоставляет число из множества . Эта функция называется функцией, обратной к и обозначается символом (рис. 3). Ясно, что

, ,

и .

Г рафик обратной функции получается из преобразованием симметрии относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 4).

41. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной функции и обратной в одной и той же системе координат:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) , .

6. Основные элементарные функции

В школьном курсе математики вы знакомились с основными элементарными функциями. К ним относятся:

1. постоянная функция ;

2. линейная функция ;

3. квадратичная функция ;

4. степенная функция ;

5. показательная функция ;

6. логарифмическая функция ;

7. тригонометрические функции ;

8. обратные тригонометрические функции , .

Определения этих функций, их свойства и графики приведены ниже.

Свойства и графики основных элементарных функций

y

1. Постоянная функция

Э

x

то функция , которая ставит в соответствие любому одно и то же число (рис. 5).

Степенная функция

Степенная функция с показателем определяется следующим образом.

• При натуральном показателе : , , и , , для .

П

y

y

ри нечетном n областью значений функции является множество всех действительных чисел, функция нечетная и возрастающая, ее график изображен на рис.6.

При четном n областью значений является промежуток , функция четная, убывает на промежутке и возрастает на промежутке , ее график изображен на рис. 7.

• При целом отрицательном показателе : ,

При нечетном n областью значений функции является множество действительных чисел без нуля: , функция нечетная, убывающая на промежутках и , ее график изображен на рис. 8. При четном n областью значений служит промежуток , функция четная, возрастает на промежутке , убывает на промежутке , ее график изображен на рис. 9.

• При положительном рациональном показателе :

, .

• При отрицательном рациональном показателе :

, .

С тепенная функция с нецелым показателем возрастает при и убывает при . Соответствующие графики изображены на рис. 10, 11.