44. Узагальнений метод найменших квадратів (матричний підхід)

На відміну від звичайного методу найменших квадратів, узагальнений метод найменших квадратів ураховує інформацію про неоднаковість дисперсії і тому дає можливість одержати найкращі лінійні оцінки.

Розглянемо узагальнену множинну лінійну кореляційно-регресійну модель, зображену в матричному вигляді:

це Y - це n-вимірна матриця-стовпець спостережень за результуючою змінною у; X - матриця спостережень розмірності п*(k + 1) за факторними ознаками х₁,...,х_k, у якій елементами першого стовпця є одиниці для одержання вільного члена моделі, а інші стовпці є векторами спостережень за фактор­ними ознаками х₁,...,х_k; β – (k+1) - вимірна матриця-стовпець невідомих параметрів моделі; ε – n-вимірна матриця-стовпець випадкових величин ε_і.

Вибіркова кореляційно-регресійна модель має вигляд:

де Ỹ- n-вимірна матриця-стовпець теоретичних значень результуючої змінної, що розраховані на підставі кореляційно-регресійної моделі; b – (k+1) – вимірна матриця-стовпець оцінок параметрів кореляційно-регресійної моделі.

Позначимо через е = Y-Ỹ вектор випадкових відхилень.

Завдання полягає у знаходженні оцінок елементів вектора β у моделі. Для цього використовують матрицю S, за допомогою якої коригують вхідну ін­формацію.

Оскільки S — додатно визначена матриця, то вона може бути представле­на як добуток РР^Т, де матриця Р є ненародженою, тобто S = РР^Т.

При заданій матриці S оцінки параметрів моделі можна обчислити за формулою

стандартну похибку — згідно . Отже, ми можемо побудувати довірчі інтервали та критерії перевіряння статистичної значущості параметрів регресії β.

Дисперсія трансформованої похибки ε є постійною величиною, тобто для моделі

P^-1Y=P^-1Xβ+P^-1ε виконується припущення про гомоскедастичність і оцінювання її параметрів можна проводити на підставі методу найменших квадратів.