3. Определение главных масштабов длин и площадей. Полярные сферические координаты в системе нормальной, косой и поперечной проекций.

Каждая карта имеет главный(μ0) и частные масштабы. Главный масштаб (масштаб исходной модели, поверхность которой тем или иным способом развертывается в плоскость) принимают равным единице (μ0=1), т.к. он не влияет на свойства используемой картографической проекции. Частные масштабы есть результат возникновения искажений. Существуют понятия частных масштабов длин, площадей, углов в данной точке и по данному направлению. Искажения различных видов определяются как разности между соответствующими частными масштабами и единицей (т.е. главным масштабом), выраженные в процентах. Величина искажений является одним из основных критериев оценки достоинства картографической проекции. Любую картографическую проекцию, т. е. способ изображения географической сетки на плоскости, можно задать либо геометрически, либо аналитически. А. Геометрический способ задания проекции. 1. Указание на способ построения меридианов и параллелей картографической сетки. 2. Указание на геометрический способ перенесения точек с поверхности сферы на плоскость. Б. Аналитический способ задания проекции. - Положение точек на плоскости (на карте) определяется прямоугольными декартовыми координатами х и у, принимая, например, средний меридиан карты за ось абсцисс. Положение точек на шаре определяют географическими координатами — широтой φ и долготой λ. В некоторых случаях применяют сферические координаты — зенитное расстояние г и азимут а, аналогичные географическим координатам для шара с тем различием, что вместо географических полюсов Р0, Р0' за полюса принимают произвольно выбранные точки Z0, Z0': зенитные расстояния z считаются от ближайшего полюса Z0, азимуты а представляют собой двугранные углы при точках Z0 и Z0' между плоскостями больших кругов, проходящих через географический полюс P0 и данную точку М. Система координатных линий на поверхности шара, соответствующая сферическим координатам z и a, совершенно тождественна географической сетке меридианов и параллелей. Если задана зависимость между прямоугольными координатами х и у изображения точки на плоскости и сферическими координатами z и а изображаемой точки на сфере, то этим самым аналитически задана вполне определенная картографическая проекция: x=f1(z, a), y=f2(z, a) (1) или, если даны географические координаты изображаемой точки на сфере: x=f3(φ, λ), y=f4(φ, λ). Для того чтобы из этих уравнений получить уравнения меридианов и параллелей, очевидно, нужно по очереди исключить из них сначала φ, а затем λ, тогда получим λ=F1(x, y), φ=F2(x, y). Иногда вместо прямоугольных координат удобнее положение точки на плоскости проекции определять плоскими полярными координатами ρ и δ, тогда проекция будет задана следующими уравнениями: ρ = Ф1( φ, λ), δ =Ф2(φ, λ.) ρ = Ф3(г, а), δ = Ф4(г, а). Но и в этом случае картографическую сетку иногда приходится строить по точкам пересечения меридианов и параллелей, вычисляя их прямоугольные координаты. Это можно сделать, связав прямоугольные координаты x и y с полярными координатами ρ и δ: x= ρ·cos δ, y= ρ·sin δ - Проекцию можно определить также, указав характерные свойства картографической сетки, достаточные, чтобы из них вывести уравнения проекции. Например, проекция Гаусса вполне может быть определена, если сказать, что это — равноугольная проекция эллипсоида с прямолинейным осевым меридианом, длины вдоль которого сохраняются. - Наконец, имеет распространение способ изыскания проекций, разработанный в свое время Н. А. Урмаевым. Он заключается в том, что на основании заранее заданного распределения искажений и макета будущей картографической сетки методом интерполирования и численного интегрирования вычисляют сразу прямоугольные координаты узловых точек картографической сетки, т. е. точек пересечений меридианов и параллелей, взятых с достаточной густотой, по которым и строят сетку. Нормальная, поперечная и косая картографические сетки. Применяя один и тот же способ изображения, т. е. одну и ту же картографическую проекцию, можно получить картографические сетки различного вида (пример вида нормальной, косой, поперечной сеток в перспективной ортографической проекций). Система сферических координат, через посредство которой выражаются уравнения картографической проекции, называется нормальной системой сферических координат для данной проекции. Картографическая сетка, дающая изображение координатных линий принятой нормальной системы сферических координат, и называется нормальной сеткой. Если географический полюс Р0 совместить с полюсом Z0 нормальной системы сферических координат, то тогда нормальная сетка будет изображать географические меридианы и параллели. Такую сетку называют прямой. Если географический полюс Р0 удален от полюса нормальной системы сферических координат на 90°, то система географических координат в этом случае называется поперечной системой сферических координат, а их изображение— поперечной сеткой. Если географический полюс Р0 удален от полюса Z0 нормальной системы сферических координат на произвольное расстояние между 0 и 90°, то система географических координат называется косой системой сферических координат и соответствующая ей картографическая сетка — косой сеткой. Применение нормальной, косой и поперечной сеток имеет практический смысл и зависит от конфигурации и географического расположения картографируемой территории. Для построения косой или поперечной сетки необходимо найти зависимость между географическими координатами и нормальной для данной проекции системой сферических координат. Пусть проекция задана уравнениями: х=f1(z,a), y=(z,a), (1) дающими функциональную зависимость между сферическими координатами z и а нормальной системы, которыми определено положение точки на поверхности земного шара, и прямоугольными координатами х и у изображения этой точки на плоскости в данной проекции. Требуется построить косую сетку, т. е. сетку параллелей и меридианов, соответствующую системе географических координат. Для этого выразим сферические координаты z и a заданной точки M0 через географические координаты φ и λ по формулам сферической тригонометрии: cos z=sinφ0sinφ+cosφ0cosφcos(λ-λ0), sin z cosa= cosφ0sinφ-sinφ0cosφcos(λ-λ0), sin z sina= cosφ0sinφ-sinφ0cosφsin(λ-λ0), где φ0, λ0 — широта и долгота полюса Z0 нормальной системы, которые должны быть заданы. Для поперечной сетки, когда ср = 0°, служат следующие формулы cos z= cosφcos(λ-λ0), tg a=ctg φsin(λ-λ0). Вычислив для заданных круглых значений φ и λ по написанным формулам сферические координаты z и а, подставляют их в формулы проекции (1) и вычисляют прямоугольные координаты х и у узловых точек географической сетки, т. е. точек пересечения меридианов и параллелей. Соединив точки, соответствующие одинаковым значениям долготы и широты, получают географические меридианы и параллели косой или поперечной сетки.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Частные масштабы карт (частные масштабы длин и площадей). Причины их возникновения. Основные признаки классификации картографических проекций. Учение об искажениях занимает центральное место в теории картографических проекций. Ни сферу, ни поверхность эллипсоида невозможно расправить в плоскость – какие-то их участки будут сжаты, другие растянуты. В плоскости, в общем случае, длины отрезков, углы между направлениями, формы участков и их площади не будут равны таковым на исходной поверхности. Они будут в той или иной степени искажены. Виды искажений на карте взаимосвязаны. Связь между искажениями углов и площадей, их пртивоборство. Точки и линии нулевых искажений и характер их распределения. Искажения длин. Искажения длин на карте выражаются в том, что масштаб длин меняется с переменой места точки. В результате искажаются соотношения линейных размеров разных географических объектов.Об искажениях длин судят по частным масштабам длин. В бесконечно малой окружности каждой точки карты (называемой эллипсом искажений) различают: m - частный масштаб длин по меридиану, n - частный масштаб длин по параллели, μ - частный масштаб длин по любому направлению. Исходя их определения частного масштаба длин, для частных масштабов m и n получают m=√e⁄M; n=√g⁄r. Перечисленные выше масштабы взаимосвязаны следующим образом: μ2= m2cos2A+mncos θ sin(2A)+n2sin2A, где А – азимут того направления, для которого определяется частный масштаб длин μ, причем азимут измеряется на эллипсоиде; θ – угол между меридианом и параллелью в данной точке карты. Для работы с картой удобнее выражение: 1⁄μ2=sin2(θ-α)⁄m2sin2θ + sin2α⁄n2sin2θ, где α – азимут измеренный на карте для того направления, для которого ищется частный масштаб μ. При α =0 μ=m, а при α = θ μ=n. Частные масштабы длин можно легко определить по карте при наличии картографической сетки. Длины отрезков, за исключением линий нулевых искажений, искажаются в любых проекциях. В каждой точке карты существуют два направления, по которым частные масштабы длин принимают экстремальные значения – по одному из них масштаб максимален, по другому минимален. Направления экстремальных масштабов (а,в) взаимно перпендикулярны. Если на карте между меридианом и параллелью прямой угол (θ=900), то главные направления всегда будут ориентированы по меридиану (а=m или b=m) и параллели (a=n или b=n). Такие соотношения верны для ортогональных проекций. Для неортогональных проекций, используя значения частных масштабов по меридиану и по параллели m и n, а также угол между меридианом и параллелью θ, экстремальные масштабы длин a и b и азимут β главного направления на карте вычисляют по формулам: αa+b= √m2+n2+2mnsinθ; a-b= √ m2+n2-2mnsinθ; tgβ=±b⁄a √a2-m2⁄m2-b2= ±b⁄a√n2-b2⁄a2-n2 Искажения площадей. Площади на картах могут иметь значительные искажения. Частный масштаб площадей определяется по одной из следующих формул: p=mnsin θ; p=ab; p=h⁄rM. Искажения площадей характеризуются относительными величинами (в долях от главного или в процентах: ν=р-1; ν=(р 1)·100% ). Характер искажения площадей можно определить по рисунку эллипса искажений. На картах для демонстрации искажений применяют разные способы – профили головы человека, изоколы, эллипсы искажений и др.Классификация картографических проекций. Обычно класификации карт. проекций выполняется по внешним признакам, так как более глубокие генетические подходы уводят далеко от картографии в сторону математики. Распространенные группы признаков классификации картографических проекций: 1. Признаки, относящиеся к математико-геодезическим основам карт – форма отображаемой поверхности, математические способы построения проекции и др. 2. Признаки, описывающие саму проекцию – характер и величины искажений, вид картографической сетки, ее специфические свойства. 3. Признаки, обусловленные назначением, использованием и содержанием карты. 4. Признаки, диктуемые объектом картографирования – его форма, размеры и географическое положение. На основе первой группы признаков выделяют проекции: • регулярных поверхностей тел правильной формы (шар, эллипсоид), изучением которых математическая картография обычно и занимается. • реальных поверхностей – проекции астероидов, комит и некоторых других космических тел сложной формы. Их теория только разрабатывается. Различают классификации проекций по виду общих уравнений, по способу построения, а также по ориентировке картографической сетки в зависимости от положения полюса сферической полярной системы координат. В этом случае (выше это было рассмотрено) выделяют сетки в нормальной, косой и поперечной ориентировках. Классификации на основе признаков второй группы имеют наибольшее распространение и практическое значение. К этой группе могут быть отнесены следующие классификации проекций: • по характеру и величинам искажений; • по виду нормальной картографической сетки • по составу параметров математических элементов. Третья группа признаков ориентирует на целенаправленный и оптимальный по отношению к создаваемой карте выбор проекции. Четвертая группа выдвигает на передний план индивидуальные географические особенности картографируемого объекта. На основе признаков этих групп проекции классифицируются следующим образом: Проекции карт Земли. • Проекции тематических и общегеографических карт: - проекции мира; - проекции полушарий; - проекции материков и океанов; - проекции крупных частей материков; - проекции государств и их частей. • Проекции карт конкретного назначения: - проекции топографических карт; - проекции общегеографических мировых карт масштабов 1:1 000 000 и - 1: 2 500 000; Проекции карт космического пространства · Проекции звездного неба. · Проекции планет и их спутников. · Проекции комет и астероидов.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------