33. Равнопромежуточные конические проекции шара, их практическое использование.

Для простых конических проекций на касательном конусе. Для определения вида функции ρ =f(φ) поставим условие равнопромежуточности по меридианам m=1, или приняв главный масштаб равным единице μ0 = 1, получим: m=μ1/μ0= -αρ/Rdφ / μ0 = -αρ/μ0 Rdφ = - αρ/1· Rdφ, т.к. m=1, то 1= - αρ/Rdφ, отсуда αρ= - Rdφ. Интегрируя, т.е. обобщая последнее выражение, получаем: ρ=R·φ+ρэкв= ρэкв- R·φ, где φ выражена в радианах. Произведение R·φ= x представляет длину дуги меридиана от экватора до параллели с широтой φ. ρэкв – расстояние интегрирования. По формуле a=n/m · sin φ , в которой m=1, можно определить коэффициент пропорциональности долгот на карте: a=n · sin φ (т.к. m=1), при n=n0=1 a= sin φ. После чего по формуле δ = αλ (см. начало лекции) вычислить долготы на карте можно по формуле: δ = n·sinφ·λ. Таким образом, вычисление равнопромежуточной конической проекции заключается прежде всего в определении параметров уравнений: 1) ρ= ρэкв-Rφ (Rφ= μ0Rctgφ +Rφ). 2) δ = αλ или δ = n·sinφ·λ , а т.к. n0=n=1 (при касательном конусе), то δ = λ sinφ , где λ – заданная разность долгот между смежными меридианами на глобусе. Таким образом, вычислив ρэкв и α далее вычисляют радиусы заданных параллелей ρ и углы между меридианами δ (если параллель касания задана, т.е. φ0 = φ известна, то n0=n=1, то к северу и к югу от параллели касания масштаб увеличивается, т.е. n>1).

Искажения. Локальные формы являются истинными вдоль стандартных параллелей. Искажение постоянно вдоль любой данной параллели,

но увеличивается по мере удаления от стандартных параллелей. Искажение площадей постоянно вдоль любой данной параллели, но увеличивается по мере удаления от стандартных параллелей. Направление локальное – истинное вдоль стандартных параллелей. Расстояние истинное вдоль меридианов и стандартных параллелей. Масштаб постоянен вдоль любой данной параллели, но изменяется от параллели к параллели.

Области использования. Картографирование регионов, расположенных в средних широтах, вытянутых в направлении с востока на запад. Обычно используется для карт в атласах небольших стран. Использовалась в Советском Союзе для картографирования всей страны. (В СССР применялись специально разработанные проекции Каврайского, Красовского и ряд других со стандартными параллелями 47° и 62° СШ и центральным меридианом 100° ВД. Проекция Красовского отличалась уменьшенным масштабом по меридиану, m = 0,997.)

34. Произвольные проекции, способы их построения. Взаимосвязь конических, азимутальных и цилиндрических проекций. Произвольные цилиндрические проекции с заданным распределением искажений. Такие проекции были предложены Н.А.Урмаевым. Рассмотрим случай шарообразной Земли радиусом R. В нормальных цилиндрических проекциях, симметричных относительно экватора, масштаб по меридианам есть четная функция широты и может быть представлен многочленом вида: m=x/R=dx/Rdφ=a0 + a2φ²+a4φ(в 4 степени) +... Неизвестные коэффициенты а( могут быть вычислены, если на нескольких параллелях задать значения частных масштабов т. Н.А.Урмаев предложил принять эти масштабы на параллелях с широтами φ1= 0, φ2 = 60°, φ3 = 80°, соответственно равными т1 = 1,0; т2 = 1,5; m3 = 2,0. Отсюда три неизвестных коэффициента нетрудно найти или из решения трех линейных уравнений, или по интерполяционной формуле Ньютона с разделенными разностями. Выполнив интегрирование, получают формулу для абсцисс х, значения ординат у вычисляют по общей для цилиндрических проекций формуле. Уравнения проекции принимают вид: x=R(a0φ+a2/3 * φ(в 3 степени) + a4/5 * φ(в 5 степени)); y=R(λ-λ0).  Цилиндрические проекции — проекции, в которых меридианы изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели — прямыми, перпендикулярными к изображениям меридианов. Выгодны для изображения территорий, вытянутых вдоль экватора или какие-либо параллели. В навигации используется проекция Меркатора — равноугольная цилиндрическая проекция. Проекция Гаусса — Крюгера — равноугольная поперечно-цилиндрическая — применяется при составлении топографических карт и обработке триангуляций. Конические проекции — проекции, в которых параллели изображаются концентрическими окружностями, меридианы — ортогональными им прямыми. В этих проекциях искажения не зависят от долготы. Особо пригодны для территорий, вытянутых вдоль параллелей. Карты всей территории СССР часто составляются в равноугольных и равнопромежуточных конических проекциях. Азимутальные проекции — проекции, в которых параллели — концентрические окружности, меридианы — их радиусы, при этом углы между последними равны соответствующим разностям долгот. Частным случаем азимутальных проекций являются перспективные проекции. Существует много проекций, не относящихся к указанным видам. Цилиндрические, конические и азимутальные проекции, называемые простейшими, часто относят к круговым проекциям в широком смысле, выделяя из них круговые проекции в узком смысле — проекции, в которых все меридианы и параллели изображаются окружностями, например конформные проекции Лагранжа, проекция Гринтена и др.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

35. Причины возникновения искажений на картах. Способы определения вида картографической проекции. Равнопромежуточные азимутальные проекции. Искажения длин. Искажения длин на карте выражаются в том, что масштаб длин меняется с переменой места точки. В результате искажаются соотношения линейных размеров разных географических объектов. Искажения площадей. Площади на картах могут иметь значительные искажения. Частный масштаб площадей определяется по одной из следующих формул: p=mnsin θ; p=ab; p=h⁄rM. Искажения площадей характеризуются относительными величинами (в долях от главного или в процентах: ν=р-1; ν=(р-1)·100% ). Характер искажения площадей можно определить по рисунку эллипса искажений. Искажения угловых величин. Различают искажения азимутов, искажения углов между меридианами и параллелями. Искажение азимутов (азимут А некоторого направления на эллипсоиде не равен азимуту α того же направления на карте) – зависимость между значениями азимутов, - определяется следующей формулой: tgα=nsinθ tgA⁄m+ncosθ tgA. При θ=900 и m=n значения азимутов не искажены: tgα= tgA (ортогональная проекция). Искажения углов между меридианами и параллелями. Искажения форм. Искажения длин ведут к искажениям форм. Поскольку нет проекций, не искажающих длины, то и формы контуров конечных размеров искажаются в любых проекциях, в том числе и в равноугольных. (В последних подобие сохраняется лишь для бесконечно малых фигур). Для выяснения некоторых характеристик проекции используют очевидные особенности ее картографической сетки: • вид меридианов и параллелей; • величины углов, под которыми пересекаются меридианы с параллелями, или под которыми расходятся меридианы с удалением от полюсов; • изменения длин дуг меридианов с широтой и изменения длин дуг параллелей с долготой. Распознавание проекций возможно лишь для карт большого территориального охвата. Картографические сетки на картах небольших территорий в разных проекциях похожи друг на друга и, следовательно, слабо различимы. Картографические сетки нормальных проекций некоторых классов легко распознаются по их виду. Так, если меридианы на карте изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели — прямыми, перпендикулярными к меридианам, то карта составлена в нормальной цилиндрической проекции. У нормальной равнопромежуточной цилиндрической проекции шара параллели равноотстоящие. В равновеликой проекции промежутки между параллелями уменьшаются к полюсам. Если промежутки между параллелями к полюсам увеличиваются очень значительно и на карте отсутствует полярная линия, проекция, скорее всего, является равноугольной. Если параллели — прямые, параллельные друг другу, средний меридиан — прямая, перпендикулярная к параллелям, а остальные меридианы — наклонные в сторону среднего меридиана прямые, или кривые, выпуклые от среднего меридиана, то карта построена в нормальной псевдоцилиндрической проекции. Если меридианы — расходящиеся от полюса прямые, а параллели — перпендикулярные к ним концентрические окружности, то карта составлена в нормальной конической проекции. При этом если параллели равноотстоящие, проекция, вероятнее всего, равнопромежуточная. Если с удалением от полюса расстояния между параллелями убывают, то коническая проекция равновеликая, а если, наоборот, увеличиваются, то проекция вероятнее всего равноугольная.

Равнопромежуточная азимутальная проекция. Поставив условие равнопромежуточности по меридианам, т.е. m=1, и принимая Землю за шар, получим исходную формулу для определения радиусов ρ параллелей на карте при μ0=1: - dρ/R·dφ = 1 (для меридиана), откуда dρ = - R·dφ, интегрируя это выражение, получим φ ρ= - R ∫ dφ = R (π/2 - φ), или выражая через полярное расстояние ℓ = π/2 – φ, получим π/2 . ρ = R·ℓ , где ℓ - полярное расстояние. Увеличение масштаба n по параллели найдем по уже известной формуле: n= ρ/r = ρ/R·cosφ . Преобразуя в этом выражении ρ и угол φ через полярное расстояние (или угол), получим: n= R·ℓ / R·cosφ = ℓ / sinℓ. Так как меридианы и параллели взаимно перпендикулярны, т.е. ψ=900, m=1, увеличение площадей выразиться так: p=n=ℓ / sinℓ. Наибольшее искажение углов определяется по формуле: tg(450+ω/4)=√n (т.к. m=1)Рассматриваемая проекция была предложена французским математиком Постеле и часто называется его именем. Равнопромежуточная проекция Постеля применяется тогда, когда желают сохранить без искажений полярные азимуты и полярные расстояния (в косых и поперечных проекциях за полюс принимается точка касания плоскости с поверхностью глобуса).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

36. Определение частных значений масштаба длин по меридиану и параллели. Определение частных масштабов ( ) по значениям искажений (n=0,8, m=1,2). Определение проекции по искажениям.

Для того чтобы найти частные масштабы нам необходимо знать масштаб карты. Например, если карта масштаба 1:500 000, то частный масштаб по параллели = n* , где - главный масштаб. Соответственно частный масштаб по меридиану будет равен = m* . Таким образом, получаем = 0,8 * 1 : 500 000 = 1: 625 000. = 1,2 * 1: 500 000 = 1 : 416 667. Масштаб площади в точке или , a=m, b=n. P=nm = 0,8*1,2 = 0,96. Далее определяем масштабы по главным направлениям в точке. = 1, 96, = 0,4, = 1,18, = 0,78. Коэффициент форм K = a/b=1,18/0,78=1,51.

В целом по характеру искажений проекции разделяют на произвольные, равновеликие, равноугольные и равнопромежуточные. В 70-х годах XX в. Г. И. Конусова в целях определения вида проекций предложила локальный критерий. Этот критерий является угловой величиной. Назовем его углом классификации. Угол классификации вычисляется следующим образом:

Поэтому количественная оценка разделения проекций по характеру искажений на отдельные ступени на основе величины угла классификации α производится следующим образом:

α = 0 – равноугольные проекции; - равнопромежуточные проекции; - равновеликие проекции; – произвольные проекции.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------