12. Уравнения азимутальных проекций. Равновеликие азимутальные проекции. Перспективные азимутальные проекции, их применение.

Азимутальными проекциями называются такие проекции, параллели нормальной сетки которых изображаются концентрическими окружностями, а меридианы – радиальными прямыми, исходящими из одной точки, являющейся географическим полюсом, под углами, равными соответствующим разностям долгот в натуре.

Аналитически это определение выражается следующим образом: ρ=f(φ), δ =λ где ρ – радиус параллели на карте, δ – угол между меридианами.

Полюс системы плоских полярных координат ρ и δ принимается в точке Р (географический полюс). За полярную ось, от которой отсчитываются углы δ, берут обычно один из меридианов, параллельный вертикальной рамке карты.

Вид функции ρ=f(φ) определяется условиями получения равноугольной, равновеликой или равнопромежуточной проекции. Поскольку в этой проекции меридианы и параллели пересекаются под прямым углом, поэтому они принимаются за главные направления эллипса искажений. Отсюда учеличения m и n находят взяв за основу отношения бесконечно малых элементов меридиана и параллели карты к соответствующим элементам земного шара, уменьшенным в главном масштабе µ₀:

m= - ∆ρ / µ₀·R·∆φ (здесь знак «-» показывает, что с увеличением широты φ радиус ρ параллели карты уменьшается).

n= ρ / µ₀·r = ρ / µ₀ ·R·cos φ (азимутальные проекции являются частным случаем конических проекций. Это случай, когда коэффициент пропорциональности долгот α =1.

Отсюда, если ∆δ/ ∆λ = 1, то n = ρ/r)

В дальнейшем, при рассмотрении отдельных видов азимутальных проекций главный масштаб будем брать равным 1, т.е. µ₀=1

Для определения площадей и наибольшего искажения углов служат те же формулы, что и для конических проекций: p=m·n, tg(45⁰+ ω/4)= √ n/m (или √ m/n).

Из сравнения формул с соответствующими для конических проекций, а также из определения этих проекций, видно, что азимутальные проекции являются частным случаем конических проекций, а именно когда коэффициент пропорциональности долгот α =1. Другими словами, для построения азимутальных проекций можно использовать формулу ρ, а по формуле к=2ρ·sin δ /2 вычислить хорды для построения меридианов.

Равновеликая азимутальная проекция. Немецкий математик Ламберт еще в 1772 г. разработал эту проекцию. В ней концентрические окружности, изображающие параллели нормальной сетки, проводятся радиусами, равными хордам АР параллели АВ на глобусе, т.е. АР = ρ = 2R·sinℓ/2. При таком построении параллелей сохраняются площади на карте.

Доказательство:

Площадь круга на карте радиуса АР = ρ равна S=π (AP)². Из геометрии известно, что площадь сегмента АРВ (показать на рисунке) шаре равна произведению длины окружности большого круга на высоту сегмента – РО: Sсег.=2π R·PO. Из ∆ Р₁ АР можно написать, что катет АР=ρ есть среднее пропорциональное между гипотенузой и прилежащим отрезком РО. РО/ АР = АР/2R (показать на рисунке). Откуда АР₂= 2R· РО.

Подставив последнее выражение в формулу сегмента Sсег.=π (АР)² получим Sсег.=2π R·PO, что и требовалось доказать.

Равновеликая азимутальная проекция Ламберта является частным случаем равновеликой конической проекции.

Формулу для радиусов параллелей можно также вывести на основании общих формул азимутальных проекций, подставив условие равновеликости m·n=1, при µ=1:

- dρ/R·d φ · ρ/R·cos φ = 1. Интегрируя выражение, получим:

или, выражая угол φ через полярное расстояние ℓ= π /2-φ получим:

. Откуда ρ = R √ 2(1-cosℓ) = 2R·sinℓ/2

Увеличение m вдоль меридианов находят: m= cos ℓ/2

Увеличение n параллелям находят: n= sec ℓ/2

Увеличение p найдем исходя из: p=m·n = cosφ·sec φ= cosφ· 1/cos φ = 1

Наибольшее искажение углов можно вычислить по формуле: tg(45⁰+ ω/4)= secℓ/4

Перспективные азимутальные проекции. Вид нормальной сетки перспективных проекций такой же, как и азимутальных. Поэтому перспективные проекции являются частным случаем азимутальных проекций, полученных по закону перспективы.

Перспективные проекции широко применяются как в нормальной, так и в косом и поперечном положениях. В нормальном положении нормальной системой сферических координат являются географические координаты φ (или ℓ) и λ и общими уравнениями перспективных проекций, как и азимутальных, являются: ρ=f(φ) = F(ℓ), δ =λ7

В других случаях, если нормальной системы сферических координат z и α не совпадают с географическим полюсом, то получим косые и поперечные сетки, определяемые уравнениями: ρ=f(z), δ =α, в которых сферические координаты z и α узловых точек, картографической сетки географических меридианов и параллелей вычисляют по тем формулам, которые были использованы при рассмотрении азимутальных проекций:

cos z = cos φ₀ ·sin φ + cos φ ₀·cos φ·cos (λ- λ₀)

sin z · cos φ = cos φ₀ ·sin φ - sinφ₀·cos φ·cos (λ- λ₀)

sin z · sin φ = cos φ₀ ·sin φ - sinφ₀·cos φ·sin (λ- λ₀)

или cos z = cosφ·cos (λ- λ₀)

tg α = ctg φ · sin (λ- λ₀)

где φ0 и λ0 – широта и долгота Z₀ нормальной системы сферических координат z и α; φ и λ - географические координаты узловых точек картографической сетки.

Так как в косых и поперечных сетках меридианы и параллели изображаются кривыми линиями, их построение проще всего делать по прямоугольным координатам узловыхъ точек картографической сетки, вычисляемые по нижеприведенным формулам:

x= ρ · cosδ = ρ · cosα

y= ρ · sin δ = ρ · sin α

Положение точки M₀ на глобусе – точки пересечения меридианов и параллелей – задается географическими координатами φ и λ, поэтому предварительно необходимо перейти от географических координат φ и λ точки M 0 к сферическим координатам z и α той же точки M₀ по написанным выше формулам сферической тригонометрии.

Выражения:

(1) cos z = cos φ₀ ·sin φ + cos φ₀·cos φ·cos (λ- λ₀)

sin z · cos α = cos φ₀ ·sin φ - sinφ₀·cos φ·cos (λ- λ₀)

sin z · sin α = cos φ₀ ·sin φ - sinφ0·cos φ·sin (λ- λ₀)

(2) ρ = K·Rsinz / Д +Rcosz.

(3) x= ρ · cosδ = ρ · cosα

y= ρ · sin δ = ρ · sin α

и представляют собой самые общие формулы для всех перспективных проекций.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------