Шпоры (отличные) по МЭСА 7 семестр

аппроксимация Мольер (баба)

ΦМ(x) = 0,35е-0,3х + 0,55е-1,2х + 0,1е-6х

так вот LSS, принимается

εχ = g(ξ)/ξ

выражение получено в предположении малых углов χ, при которых χ/2 sin(χ/2), и

εχ = 2εχ/2 2εsin(χ/2) = 2t1/2 = g(ξ)/ξ,

в параметре t1/2 = εsin(χ/2) учитывается и массы с атомными номерами частиц, начальная энергия частицы m1, и угол рассеяния с прицельным параметром.

вычислить численно и для каждого ξ из равенства t1/2 = g(ξ)/2ξ определить t1/2 те получить функцию G: ξ = G1/2(t1/2) (Степень ½ у G выбрана для удобства).

далее т.к ρ = аG1/2(t1/2), получим

где fL(t1/2) = tG'(t1/2) – функция Линдхарда.

fL находят по аппроксимации, Винтербона например

Переход к дифференциальному сечению в СЦМ.

t = ε2sin2(χ/2), dt = ε2sin(χ/2)cos(χ/2)dχ.

В диапазоне r/a =0,5÷5 функция Φ(r/a) может быть аппроксимирована прямой. если использовать дважды логарифмический масштаб, тоуравнение прямой

lgΦ(r/a) = a +blg(r/a) = =A + lg(r/a)b = lgA(r/a)b,

т.е. Φ(r/a) = A(r/a)b. А = 0,416; b = -1,и функция экранирования (функция Нильсен)

ΦН = 0,416а/r.

при 0,5а ≤ r ≤ 5а можно считать, что потенциал U(r) = (Z1Z2e2/r) (0,416а/r) = α2/r2 т.е. является обратноквадратичным потенциалом.

тогда подставляя α2в формулу сечения для обр.кв. потенциала из третьей шпоры получим

fL = 0,416π/4 = 0,327 для любых пар ионов

Ядерная и электронная тормозная способность, удельные потери, расчет для 5.1 кулоновского и экранированного кулоновского потенциала. расчет для

соединений.

Ион M1, Z1, движется в твердом теле(ТТ), состоящем из атомов M2, Z2. При взаимодействии иона с атомами происходит передача его энергии атомам, и ион тормозится в ТТ. В каждый рассматриваемый момент энергия иона равна Е, она уменьшается.

σ* – полное (проинтегрированное по всем возможным переданным энергиям) сечение процесса, сопровождающегося передачей энергии движущегося иона атомам ТТ. Если dσ*(E2) – дифф. сеч. передачи энергии в диапазоне E2 ÷ dE2, то

E2 max

σ* = ∫dσ*(E2 ) где E2min – минимально возможная переданная ионом энергия,

E2 min

E2max – максимально возможная.

Выделим в ТТ объем с площадью основания σ* и высотой dl, направленной вдоль траектории движения иона. Концентрация атомов ТТ n*. В объеме находится n*σ* dl атомов (рассеивающих центров). Если E2 – средняя энергия, передаваемая рассеивающему центру в однократном процессе взаимодействия, то на участке траектории dl у иона изменится энергия dE2 = – n*σ*dl. Удельные потери энергии ионом вдоль траектории

dEdl = −n*σ* E2 .

вещества

Упрощающие предположения:

ТТ представляет собой набор атомов с концентрацией n0, не обр. кристаллическую решетку.

Следуя Нильсу Бору, рассматривать потери энергии ионом как сумму двух независимых процессов, идущих одновременно:

взаимодействие с ядрами атомов, ("ядерное", подстрочный индекс "n"), в ходе этого процесса происходит изменение направления движения иона;

взаимодействие с электронами атомов ТТ, ("электронное", построчный индекс "е"), в ходе этого процесса направления движения иона не меняется, т.к. me << m1.

Для конкретного вида dσ*(E2) необходимо знать потенциал взаимодействия. Кулоновский потенциал.(Применим для быстрых легких ионов ~ МэВ). Дифф. сеч. по переданной энергии в случае кулоновского пот-ла имеет вид:

E2max = 4γЕ/(1 + γ)2 (вспомнить кинематический фактор Λ). Точное значение E2min не

существенно, ед. требование E2min ≠ 0. примем E2min = Ed = 10 эВ – средняя энергия смещения атома из положения равновесия.тогда

Торможение на электронах можно рассматривать как рассеяние иона на электронах.

При таком рассмотрении потенциал взаимодействия U(r) = Z1e2/r. И, γ = m1/me >> 1.

E2max = 4γЕ/(1 + γ)2 4Е/γ = 4Еme/m1

Для вычисления E2min примем, что в результате взаимодействия иона с электроном переданная ему энергия больше энергии связи, т.е. рассеяние иона на атомном электроне сопровождается ионизацией атома.

Введем среднюю энергию ионизации атома (усредненную по всем оболочкам)

. При таком подходе E2min =

Ядерная тормозная способность в экранированном кулоновском потенциале

Аппроксимация Юдина sn (ε) = 0,45 ε

0,3 +ε

такие же штуки для электронной тормозной способности.

образец – однородное соединение из N элементов и относительная концентрация каждого элемента Ci = ni /n0 то используются два подхода для вычисления S и dE/dl.

Средний атомный номер

Правило Брэгга Если Si – тормозная способность i-го элемента, вычисленная по общим правилам, то для многоэлементного образца тормозная способность

N

S = ∑Ci Si

i

До входа ионы имеют энергию Е0 (моноэнерг. пучок). Т.к энергия, теряемая ионом в каждом соударении с атомами ТТ (обозначим ее Т) зависит от прицельного параметра ρ, то эта

величина имеет случайный характер из-за случайности ρ. И угол рассеяния в каждом соударении случайный. →Траектория каждого иона индивидуальна и пробег R различен.

введем функцию распределения ионов по длинам пробега P(R, E0, Z1, Z2, M1, M2, n0) характеризует плотность вероятности остановится после прохождения пути R иону M1, Z1 с начальной энергией Е0 в образце Z2, M2 с концентрацией n0 (пренебрегаем наличием кристаллической решетки и рассматриваем моноэлементный образец).

предположение что распределение ионов по длинам пробега является Гауссовым

средний траекторный пробег R = R(E0 , Z1, M1, Z2 , M2 , n0 ) ≡ R(E0 )

∆R2 -среднеквадратичное отклонение

При взаимодействии иона с атомом ТТ есть вероятность, что атому будет передана энергия Tn за счет рассеяния на ядре, а его электронам энергия Te.

Она определяется значением дифф. сеч. dσne(Tn, Te) = dσn(Tn) + dσe(Te) (ядерные и электронные потери независимы)

Рассмотрим на входе иона в ТТ участок его траектории δR такой малый, что на нем происходит только одно взаимодействие с атомом ТТ.

Вероятность что на δR ион потеряет энергию Tn + Te, равна n0 dσne(Tn, Te)δR. энергия иона станет Е0 – Tn – Te. Чтобы ион имел пробег R, ему надо пройти R – δR.

Плотность вероятности прохождения такого пути равна P(R – δR, Е0 – Tn – Te). Произв. P(R – δR, Е0 – Tn – Te) n0 dσne(Tn, Te)δR – вклад рассм. взаим. в полную вероятность.

Для учета всех возможностей передачи энергии проинтегр. по dσne. → вероятность что в

Ну и вероятность иону с нач. энергией Е0 пройти R: Р = Р+ + Р– , преобразовывая

P(R, E0 ) = P(R −δR, E0 ) +

+n0δR[∫P(R −δR, E0 −Tn −Te )dσne − P(R −δR, E0 )∫dσne ]

P(R, E0 ) − P(R −δR, E0 ) = n0 [∫P(R −δR, E0 −Tn −Te )dσne − P(R −δR, E0 )∫dσne ]

δR