15. Вычисление площадей плоских фигур.

1 ). f(x)≥0; y=0, x=a, x=b y = f(x)

S = Рис.1

a b x

y

2) f(x)< 0; y=0, x=a, x=b a b x

S = │ │ Рис.2

y = f(x)

3

y

) Фигура расположена по обе стороны от оси S=S₁+S₂

ОХ:

a b

c x

S = +│ │

Рис.3

4). Фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми:

сверху - y=f(x);снизу - y=g(x) , х=а, х=b – пределы интегрирования, где а и b-

корни уравнения :

f(x) = g(x)

Площадь находим по формуле

S = S₁- S₂. где y = f(x)

S₁=

S₂= y = g(x)

S=

5)Фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми сверху, прямыми х = а,

х = b и осью ОХ:

Площадь находим по формуле

S = S₁+ S₂

S =

Точка х = с находится как корень уравнения

f(x) = g(x)

Призма

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

Призма бывает тре-, четырех-, пятиугольной и т.д.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основанию, в противном случае она называется наклонной.

Определение правильной призмы: прямая призма называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник .

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Диагональным сечением называется сечение плоскостью проходящей через два боковых ребра не принадлежащих одной грани.

Свойства: 1).Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях.

2). Боковые ребра параллельны и равны.

Объем призмы: V = S осн.· H;

Под поверхностью призмы понимают сумму площадей всех ее граней.

Sполн. =Sбок + 2Sосн.

Перпендикулярное сечение- это сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру

Теорема: Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Дано: АВСА₁В₁С₁ - призма. А₂В₂С₂ – перпендикулярное сечение.

Док-ть: S бок пов = Р _А2В2С2 · АА₁

Док-во: Боковые грани призмы – это параллелограммы.

Примем за основание параллелограмма боковое ребро, а за высоту - стороны перпендикулярного сечения.

S_AA1C1C = AA₁·A₂C₂; S _ВВ1С1С = ВВ₁·В₂С₂; S _AA1B1B = AA₁·A₂B₂;

S бок = АА₁·А₂С₂ + ВВ₁·В₂С₂ + АА₁·А₂В₂ = АА₁ (А₂С₂ + В₂С₂ + А₂В₂) = Р _А2В2С2·АА₁.

Следствие: S бок пов прямой призмы = произведению периметра основания на высоту.