1. Определение производной. Физический смысл производной. Средняя и мгновенная скорость

Производной функции f в точке х_о называется число, к которому стремится разностное отношение f/ x=(f(x_о+ x) - f(x_о))/( x) при х стремящемся к нулю.

Физический смысл производной: скорость движения материальной точки в момент времени t_о равна производной от пути по времени т.е.

υ(t)=S'(t_о).

Схема нахождения производной по определению:

1.Найти наращенное значение функции: f(x_o+ x)

2.Найти приращение функции: y=f(x_o+ x) - f(x_o)

3. Найти разностное отношение: y/ x

4. Найти производную функции: y' = lim y/ x ;

^{x 0}

Формулы производных: (c)' =0

(kx+b)' = k

(x)' = 1

(1/x)' = -1/x²

(x²)' = 2x

(x³)' = 3x²

(√x)' = 1/2√x

(xⁿ)' = n·x^n-1

2 . Геометрический смысл производной. Угловой коэффициент касательной

Рассмотрим график функции y=f(x). Зададим х_о приращение х. Проведем секущую МР и найдем её угловой коэффициент. Для этого проведем МN ‖оси ОХ, РN ‖оси OY.

МN = x, PN = y.

Рассмотрим MPN, он прямоугольный. Найдем тангенс угла наклона секущей МР из прямоугольного треугольника:

k_ceк = tgα = PN/MN= y/ x

Пусть точка Р стремится по кривой к точке М, тогда секущая MP стремится занять некоторое предельное положение, которое называется касательной к графику функции f(x) в точке х_о.

При х 0 , α β , tg α tg β , k _сек k _кас , т.е.

k _кас = lim k _сек = lim( y/ x) = f '(x_o)

^{x 0 x 0}

Т.о.

k кас= tg α = f '(xo)

Производная функции f(x) в точке х_о равна угловому коэффициенту

касательной к графику функции в точке х_о.

k _кас = tg α =f '(x_o)

3. Производная суммы, произведения, частного

Производная суммы

(u+υ) '= u'+υ' (производная суммы функций равна сумме их производных)

Пример: f(x) = -5/x+2√x

f '(x) = -(5/x+2√x)'=(-5/x)'+(2√x)'=-5(1/x)'+2(√x)'=5/x²+1/√x

Производная произведения

(u υ) '=u'υ+u υ'

Пример: f(x) = x²(2x-3)

f '(x)=(x²)'(2x-3) + x²(2x-3)'=2x(2x-3)+x²·2=4x²- 6x+2x²=6x²- 6x

Производная частного

(u/υ)'=(u'υ - u υ')/υ²

Пример: f(x) = (1+2x)/(3-5x)

f '(x) =	(1+2x)'(3-5x) - (1+2x)(3-5x)'	=	2(3-5x)-5(1+2x)	=	11
	(3-5x)2		(3-5x)2		(3-5x)2

4. Производная степенной функции, тригонометрических функций.

Степенная функция - это функция вида f(x)=xⁿ

Производная степенной функции находится по формуле

(xn)' = n · xn-1

Доказательство:

При n =1, 2, 3, 4 формула справедлива:

(х¹)' = 1х^1-1 = 1

(х²)' = 2х^2-1 = 2х

(х³)' = 3x^3-1 = 3х²

(x⁴)'=(x³·x)`=(x³)'·x+(x')·x³=3x² ·x+1·x³ = 4x³

Предположим, что формула справедлива для n=k , т.е. (x^k)' = n · x^k-1

Докажем, что формула справедлива для n =k+1

(x^k+1)' = (х·х^k)^'= х'·х^k + х·(х^k)' = х^k + х· k · x^k-1 = х^k + k·x^k = (k + 1)· х^k

Поэтому, из того, что формула верна при n=4, следует, что она верна и

при n = 5,6,7 и т.д. до любого nЄ N.

Формула справедлива также при n = 0 (при х ≠ 0)

(xn)' = n · xn-1

Формула справедлива для любого nЄR

Примеры: (х¹⁰⁰)' =100x⁹⁹

(х^2/3)' =2/3 x ^{2/3 - 1} = 2/3 x ^-1/3