
Пример.
а)
Найти ФСР соответствующего однородного
уравнения, то есть
.
Характеристическое
уравнение:
,
ФСР:
,
б)
Записываем общее решение соответствующего
однородного уравнения:
в) Найти какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянное, то есть:
Пишем систему уравнений для производных C'i:
Замечание. Поскольку при выводе метода вариации постоянных нигде не использовалось постоянство коэффициентов, то этот метод нахождения частного решения неоднородного уравнения полностью применим, когда коэффициенты уравнения a0, a1, …, an являются функции x.
Пример.
Соответствующее
однородное уравнение:
Мы
получили общее решение однородного
уравнения, где
,
.
Находим частное решение неоднородного
уравнения методом вариации постоянной,
то есть:
Это и будет общее неоднородное решение.
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Пусть имеется n неизвестных функций и n уравнений:
Данная система может быть сведена к системе первого порядка с помощью дополнительных функций:
После таких замен в системе (*) сократились только функции и их первые производные. После этого система (*) записывается в так называемом нормальном виде, когда все первые производные находятся слева:
Либо неизвестную обозначают t, а функцию – x(t):
Введём матричные обозначения:
Решение ищется в виде:
Лекция 16 (46) (20.12.10)
Из предыдущей лекции мы узнали, что однородные системы в нормальном виде записываются так:
Система
(*) в векторно-матричном виде
будет выглядеть так:
.
Перейдём
непосредственно к решению. Будем искать
решение
.
Ищем решение системы в таком виде:
В
матричном виде:
или
.
Это собственный
вектор матрицы.
-
Все n корней простые действительные числа: λ1, λ2, …, λn. Для λ1 находим
, для λ2 находим
и так далее. Если все λn – различные корни, то мы получим n линейно независимых векторов. Образуется ФСР – фундаментальная система решений.
Фундаментальной системой решений системы уравнений (*) называется системы из n линейно независимых вектор-функций.
– определитель
Вронского.
-
Если какой-то корень λ оказался кратным (кратности k). Пусть λ0 – корень характеристического уравнения кратности k, тогда решение надо искать в виде:
(если при λ0 система имеет m линейно независимых векторов).
-
Если λ0 – комплексный корень характеристического уравнения.
– корень,
– тоже корень.
и
другое:
Общим решением системы (*) называется такая форма решений, в которой содержатся произвольные коэффициенты, что любое решение этой системы получается из общего решения при каком-то определённом наборе постоянных (теорема о структуре общего решения однородной системы).
Если
есть ФСР, то
,
- некоторое произвольное
решение системы
(*).
Пример
на однородную систему.
,
,
:
Напишем характеристическое уравнение:
При
:
Пусть
,
тогда
и
,
или, если умножить всё на 2, то
,
,
.
Получили решение для
:
При
(кратности 2):
В
системе один линейно независимый вектор
решения, следовательно, решение:
При t:
При свободных членах:
Пусть
,
,
тогда:
Пусть
,
,
тогда:
ФСР:
Общее
решение:
.