-
Для любого X из этого промежутка и для любой пары чисел y', y'' имеет место неравенство: (условие Липшица)
То
решение задачи Коши
и условия
существует и единственно в окрестности
точки
.
Доказательство.
Или:
Когда
и
,
то
.
Значит, уравнение (*) можно записать в
эквивалентной форме:
.
Первое
приближение:
.
Следующее
приближение:
.
Следующее
приближение:
.
Следующее
приближение:
.
И
так далее до:
.
Если смотреть по графику, то мы рассматриваем следующую область:
Непрерывная в замкнутой области функция ограничена.
Пусть
.
В качестве h
возьмём
.
И так далее.
Докажем,
что последовательность имеет предел.
Представим последовательность y1,
y2,
…, yn,
… в виде ряда с частичными суммами
.
Это будет такой ряд:
.
Сумма такого ряда будет:
Оценим частичные суммы:
И так далее до:
По признаку Даламбера ряд сходится.
По признаку Даламбера:
По
признаку Даламбера ряд сходится
равномерно. Последовательность yn(x)
сходится равномерно на промежутке
.
Обозначим этот предел
.
Осталось доказать, что Y(x)
и есть решение уравнения (*), удовлетворяющее
условию Коши:
.
Очевидно,
что
.
Докажем, что Y(x)
есть решение уравнения (**). По построению:
При
левая часть стремится к Y(x).
Остаётся показать, что
По
условию Липшица:
.
Так как f(x,y)
непрерывна в замкнутой области, то она
равномерно непрерывна в этой области,
то есть для любой пары чисел y'
и y'',
таких, что
выполняется
для всех x.
Если взять
,
то
.
Так
как
равномерно, то, начиная с некоторого
номера,
при всех x.
Следовательно,
.
Значит выражение (***)
меньше
либо равно εh,
то
есть
Мы
доказали, что
является решением. Теорема Пикара
доказана.
Уравнения n-ого порядка, допускающие квадратуры.
Уравнение
n-ого
порядка в общем виде:
.
Первая
группа уравнений
– уравнения вида
.
Делится на два типа.
а)
И так далее до:
При
:
При
:
При
:
б)
Аналогично:
И
так далее:
В
итоге:
Вторая
группа уравнений
– уравнения вида
.
Делится на два типа.
а)
– уравнение
первого порядка. Находим z(x),
то есть
.
А дальше смотри первую группу уравнений.
Лекция 13 (43) (29.11.10)
б)
Случай, когда из
нельзя явно выразить y(n)(x),
а можно их выразить параметрически, то
есть:
Для
удобства обозначим
.
Пример.
Решить уравнение:
Так
как
,
то:
Третья
группа уравнений
– уравнения вида
.
Делится на два типа.
а)
Если
Тогда
И так далее, пока не дойдём до самой функции y.
б)
Если из уравнения
y(n)
не выражается явно, но обе производные
y(n)
и y(n-2)
можно выразить параметрически, то есть
мы имеем:
Поделим одно на другое, получим:
Известно параметрическое задание y(n) и y(n-1), а это уже было рассмотрено выше.
Рассмотрим случай, когда уравнение не зависит от y:
Введём
новую функцию
,
тогда произойдёт понижение порядка:
Рассмотрим случай, когда уравнение не зависит от x явно:
Принимаем
за новую независимую переменную y,
а
,
тогда:
И снова получили понижение порядка.
Рассмотрим случай однородных уравнений с неявно выраженными переменными. Пусть F – однородная функция y, y', y'', …, y(n), то есть:
В
этом случае замена
,
и так далее.
Пример.
Замена:
,
Получилось уравнение первого порядка:
Получили стандартное линейное уравнение, решение которых рассмотрено выше.
Следующий
тип уравнения – когда F
– однородная
функция в обобщённом смысле,
то есть
– однородная функция всех переменных
x,
y,
y',
y'',
…, y(n)
в обобщённом смысле, то есть если
,
то перед функцией F
выйдет множитель km.
Тогда действует замена
(независимая переменная) и
.
Лекция 14 (44) (06.12.10)
Рассмотрим случай, когда левая часть дифференциального уравнения представляет собой полную производную.
Следовательно,
– первый интеграл.
Пример.
– первый
интеграл, линейное уравнение.
Окончательно имеем:
Пример.
Линейное дифференциальное уравнение n-ого порядка.
Это уравнения вида:
(линейное
неоднородное уравнение)
Если
,
то уравнение – линейное однородное.
Левую часть будем называть оператор
L[y(x)].
Свойства:
Рассмотрим
линейное однородное уравнение, то есть
когда правая часть равна нулю, а именно:
.
-
Если Y(x) – решение однородного уравнения, то есть (**), то CY(x) – тоже решение этого уравнения.
-
Если Y1(x) и Y2(x) – решения линейного однородного уравнения, то есть
и
,
то и
Система
функций y1(x),
y2(x),
…, yn(x)
называется линейно
независимой системой,
если обращается тождественно в ноль
только такая их линейная комбинация
,
в которой все коэффициенты
.
Необходимые и достаточные условия. Пусть y1(x) – решение (**), y2(x) – решение (**) и так далее до yk(x) – решение (**).
– общее
решение.
Всякое
уравнение n-ого
порядка имеет n
независимых решений. Следовательно,
уравнение (**) имеет общее решение:
,
где y1,
y2,
…, yn
– линейно независимые решения этого
уравнения.
Определитель Вронского тождественно не равен нулю, если функции линейно независимы:
Если
,
то общее решение неоднородного уравнения
(*) есть сумма:
.
Доказательство.
,
ч.т.д.
Линейное дифференциальное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
,
где
– характеристическое
уравнение.
-
Пусть характеристическое уравнение имеет n действительных различных корней: λ1, λ2, …, λn. Общее решение:
. -
Пусть имеется комплексный корень характеристического уравнения:
.
Решение:
,
при этом обязательно корнем будет
.
Общее решение:
-
Пусть имеется действительный корень λ кратности
:
,
где Pk1(x)
– некоторый многочлен степени r.
Пример.
Корни:
Перейдём к рассмотрению неоднородного уравнения n-ого порядка:
-
Уравнение (*) имеет справа неоднородность f(x) специального вида, то есть типа решений однородного уравнения
.
Общее решение неоднородного уравнения
в этом случае есть сумма общего решения
однородного уравнения плюс частное
решение неоднородного, которое надо
искать в виде
,
где Q(x)
– многочлен той же степени, что и P(x)
(если α
– НЕ (!!) корень характеристического
многочлена). Если же α
совпадает с корнем характеристического
многочлена кратности r,
то частное решение неоднородного
уравнения надо искать в виде
.
Пример.
Найдём решение однородного уравнения:
Общее
решение однородного уравнения:
а) Найдём частное неоднородное первое решение, то есть:
б) Найдём частное неоднородное второе решение, то есть:
Ответ:
.
Лекция 15 (45) (13.12.10)
-
Теперь рассмотрим случай, когда правая часть неоднородного уравнения (*) то есть функция f(x), не имеет специального вида, а произвольная функция. Тогда, чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, используется метод вариации постоянной.
Возьмём
общее решение соответствующего
однородного уравнения. Пусть C1,
C2,
…, Cn
– функции x.
Будем иметь:
и
,
где
.
Подставим всё в (*):
Остаётся это уравнение:
Теперь выпишем это и уравнения, равные нулю (выше), в систему:
