Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции + ответы на экзамен (3 семестр) / Математика лекции (3-ий семестр).docx
Скачиваний:
98
Добавлен:
10.05.2014
Размер:
357.07 Кб
Скачать

Пример.

Если , то решение содержится в общем семействе (при ). Если , то решение добавляется к общему семейству.

Второй класс уравнений – однородные уравнения.

Определение однородной функции. Функция f(x,y) называется однородной функцией своих переменных x и y, если, каково бы ни было число , выполняется следующее: , где pстепень (показатель) однородности.

Например, – однородная функция, степень однородности , так как . Степень p может быть равной нулю, если .

Уравнение называется однородным, если функция, стоящая в правой части, является однородной функцией своих переменных.

Пусть f(x,y) будет однородной функцией степени 0, то есть . Пусть , тогда . Уравнения такого типа решаются заменой (переходом к новой функции): .

– общее решение.

Если , а , то:

Если , то уравнение имеет корень u0, тогда:

– решение:

– прямая наряду с семейством.

Общий вид однородного уравнения, если его записать в виде дифференциалов:

То есть M(x,y) и N(x,y) должны быть однородными функциями одной и той же степени однородности.

Пример.

Это однородное уравнение. Решаем его заменой: .

Третий класс уравнений – линейные уравнения.

Общий вид данных уравнений:

Принцип решения линейных уравнений. Разделим на A:

Если , то это будет однородное уравнение:

Если же , то применяется приём, называемый вариацией постоянной:

Оно подставляется в неоднородное уравнение:

Окончательно неоднородное уравнение будет иметь вид:

Лекция 10 (40) (08.11.10)

Дифференциальные уравнения Бернулли.

Это уравнения следующего вида:

Принцип решения:

Если обозначить за Z(x), то . Отсюда . Подставим это выражение выше и получим:

Получили дифференциальное линейное уравнение, принцип решения которого рассмотрен выше.

Пример.

Это уравнение Бернулли. Степень .

Делим на :

Пусть , тогда , откуда . Подставим:

Находим общее решение соответствующего однородного уравнения:

Мы получили общее решение соответствующего однородного уравнения. Найдём частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянной:

Дифференциальные уравнения Риккати.

Это уравнения следующего вида:

Если известно хотя бы одно частное решение этого уравнения, например y0(x), то уравнение решается заменой: . Оно сводится к следующему:

Где y0 удовлетворяет исходному уравнению, а именно:

Поэтому все такие слагаемые уничтожаются, и получаем:

Получили дифференциальное уравнение Бернулли, принцип решения которого рассмотрен выше.

Уравнения в полных дифференциалах.

Это уравнения следующего вида:

Если левая часть есть дифференциал некоторой функции u(x,y): – общий интеграл уравнения; если , а , то критерий полного дифференциала .

Предположим, что критерий выполняется. Найдём эту функцию u. Пусть , тогда . Так как , то:

Отсюда находится φ'(y).

Пример.

Дифференциалы равны, значит это уравнение в полных дифференциалах.

Теперь интегрируем полученное выражение по переменной y и приравниваем к N:

Подставляем в (*), это и будет ответ:

Интегрирующий множитель.

Пусть уравнение

оказалось НЕ уравнением в полных дифференциалах. Возникает вопрос, существует ли функция μ(x,y), которая: становится полным дифференциалом, где μ – интегрирующий множитель.

Если (*) имеет решение, то есть (определяет y как неявную функцию от x, то есть y(x)), то продифференцируем это по x.

Из равенства выше получаем:

Из выражения можно также записать, что .

Отсюда следует, что и . Значит, всегда существует такой множитель μ(x,y), что и .

Пусть .

Если найдены два интегрирующих множителя μ1 и μ, то их отношение . Это и будет решение уравнения без всяких квадратур.

Если μ(x,y) зависит только от x:

Пример.

Проверяем, умножив обе части на ex:

Это и есть решение.

Часто встречающиеся интегрируемые комбинации:

Лекция 11 (41) (15.11.10)

Пример на подбор интегрирующего множителя.

Если μ2 – интегрирующий множитель, то любая функция .

Возьмём , тогда . В итоге . Проверим:

Действительно:

Дифференциальные уравнения, не разрешённые относительно производной.

Это уравнения такого вида: .

Уравнения первого порядка n-ой степени решаются так:

Пример.

Первое уравнение решается просто: .

Второе уравнение – линейное. Сперва решается соответствующее однородное уравнение, то есть:

– это общее решение однородного уравнения. Найдём теперь частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянной:

Подставляем в неоднородное уравнение, получаем:

Окончательно получаем:

Если из уравнения y можно выразить, то есть , то это решается методом введения параметра, а именно:

Обозначим , получим:

Продифференцируем по x:

Получили уравнение, разрешённое относительно производной. p(x,C) подставляем в (*), получим: . Это и будет решение.

Рассмотрим теперь случай, когда из уравнения можно явно выразить x, то есть . Вводим параметр , получаем . Дифференцируем по y обе части:

Мы получили уравнение, разрешённое относительно производной . В итоге получаем: .

Пример.

Вводим параметр , получаем:

Дифференцируем по y:

Запишем решение в параметрической форме:

Уравнение Лагранжа.

Это уравнение, линейное относительно x и y, то есть оно имеет такой вид: .

Принцип решения:

Вводим параметр , получаем:

Пусть , поделим всё выражение на A(p):

Продифференцируем по x:

Получили линейное уравнение первого порядка. Отсюда находим .

В итоге решение в параметрическом виде:

Отдельно рассмотрим случай, когда :

  1. Если это тождество, то есть , то:

  1. Если это не тождество, а уравнение с корнями: например, p0 – корень, то есть , тогда – решение.

Уравнение Клеро.

Частный случай уравнения Лагранжа – это уравнение Клеро. Это когда уравнение Лагранжа имеет следующий вид: .

Принцип решения:

Вводим параметр , получаем . Дифференцируем по x, получаем:

Общее решение уравнения Клеро:

Здесь семейство всевозможных кривых; огибающая этого семейства, тоже является решением и называется особое решение.

Пример на уравнение Клеро.

Вводим параметр , получаем: .

Общее решение: .

Особое решение (огибающая): .

Лекция 12 (42) (22.11.10)

Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка вида: (теорема Пикара).

Если в уравнении (*) функция f(x,y) удовлетворяет следующим условиям:

f(x,y) непрерывна как функция двух переменных