
Тройной интеграл.
Пусть в некоторой области (V) с границей (S) задана в каждой точке функция f(x,y,z). Разобьём тело (V) сеткой поверхностей на частичные области (Vi).
В
каждой (Vi)
возьмём произвольную точку (ξi,
ηi,
ζi)
и составим интегральную сумму:
.
Устремим
.
Тогда, если существует предел интегральных
сумм, то:
Мы получили формулу для вычисления объёма параллелепипеда.
Рассмотрим первый простейший случай. Пусть тело V – прямоугольный параллелепипед.
Проведём секущую плоскость. Возьмём приращение плоскости (жирные линии). Тогда:
Рассмотрим второй случай.
Рассмотрим третий случай – область (V) цилиндрического типа.
Пример.
Вычислить тройной интеграл
,
где область V
ограничена поверхностями
,
,
,
.
Нарисуем это тело. Область V представляет собой тетраэдр.
Лекция 07 (37) (18.10.10)
Формула Гаусса-Остроградского.
Рассмотрим тело (V) в пространстве с ограничивающей поверхностью (S).
Рассмотрим некую функцию R(x,y,z), заданную в области (V) и на границе, непрерывную в этой области и на границе вместе со своими частными производными первого порядка.
Рассмотрим
интеграл
.
Воспользуемся первым способом и
спроецируем тело на область D.
Возьмём точку (x,y).
Складывая эти формулы, получаем формулу Остроградского-Гаусса:
Формула сводит интеграл от объёма к интегралу по границе.
Если
и
или
и
или
и
,
тогда
А
если
,
и
,
то:
Замена переменных в тройном интеграле.
Пусть имеется тело (V) с границей (S).
Пусть
,
тогда
.
Замена:
Преобразование (*) будем считать взаимно-однозначным, то есть всё можно выразить друг через друга, а именно:
Пусть поверхность (Λ) задаётся параметрически, то есть:
Получаем параметрическое задание поверхности (S):
Два последних двойных интеграла равны, так как:
Применим
к последнему выражению формулу
Гаусса-Остроградского, то есть эту
формулу:
.
Пусть
,
,
,
тогда:
Выражение в скобках равно нулю. Оставшееся выражение запишем так:
Это якобиан преобразования.
Окончательно получаем:
А для общего случая:
Цилиндрические координаты:
Переходим от координаты M(x,y,z) к M(ρ,φ,z). Это цилиндрические координаты, где:
Получаем,
что
.
Сферические координаты:
Получаем
элемент объёма сферических координат:
.
Лекция 08 (38) (25.10.10)
Пример
на замену переменных в тройном интеграле.
Вычислить объём тела, ограниченного
поверхностью
.
Здесь
симметрия:
,
,
,
.
Ответ:
.
Элементы теории поля.
Пусть
в каждой точке трёхмерного пространства
задана скалярная функция
.
Скалярное
произведение двух векторов:
.
Векторное
произведение двух векторов:
Пусть
задано скалярное
поле.
Предположим, что у него существуют
частные производные в каждой точке:
,
,
.
Производная функции U(x,y,z)
по направлению
.
Пусть вектор
– единичный вектор, тогда его координаты:
.
Если
,
то
,
,
где
,
,
.
Выражение,
полученное выше, есть скалярное
произведение вектора
и вектора
.
– градиент.
Знак
- это вектор
Набла.
Из
последнего выражения видно, что
максимально, когда
совпадает с направлением градиента.
Следовательно, градиент показывает
направление наибольшего изменения
скорости функции.
– поверхность
уровня функции
.
Пример.
.
Найти градиент.
,
где
.
Введём понятие потока вектора через поверхность.
Распространение
тепла.
Пусть задано векторное поле в каждой
точке пространства:
.
Пусть в пространстве имеется температура U(M) как функция точки M.
Поток
тепла через поверхность
S
за время t:
,
где k
– коэффициент теплопроводности, dt
– время.
Поток
тепла в единицу времени:
Плотность
потока тепла
– количество тепла через единичную
поверхность:
.
Поток
произвольного вектора
через поверхность
S:
,
так как
.
Формула
Гаусса-Остроградского в векторном виде.
Пусть
.
В обычном виде формула выглядит так:
Левую
часть можно записать и так:
,
,
.
Следовательно:
Мы получили поток вектора через замкнутую поверхность.
– это
называется дивергенция
или расходимость.
Формула Гаусса-Остроградского в векторном виде записывается так:
Поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу по объёму от его дивергенции.
Второе определение дивергенции. Возьмём некий малый объём V:
Если
дивергенция равна нулю, то есть
,
то поле вектора
называется соленоидальным.
,
поэтому поток везде, на каждом сечении
трубки, одинаков.
Дивергенцию
можно записать и с помощью оператора
Набла:
.
Перейдём к векторной записи формулы Стокса.
Это обычная формула Стокса.
– циркуляция
вектора
вдоль контура (L).
Векторная форма записи формулы Стокса:
-
это ротор,
или вихрь.
Ротор
через оператор Набла
можно записать так:
Если
,
то поле
называется безвихревым
или потенциальным.
Условие
потенциальности поля
– если
,
;
.
Второе условие потенциальности поля. Интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, значит, он не зависит от пути интегрирования.
Пример.
Вычислить Набла от
.
Лекция 09 (39) (01.11.10)
Дифференциальные уравнения.
Функция одной переменной y(x).
Дифференциальным
уравнением
называется соотношение
,
в котором x
– независимая переменная, y
– искомая функция. Это обыкновенное
дифференциальное уравнение (ОДУ) первого
порядка.
Общий
вид обыкновенного дифференциального
уравнения n-ого
порядка:
.
– уравнение,
разрешённое относительно производной.
f(x,y) – заданная, непрерывная в некоторой области D переменных (x,y) функция.
Пусть
.
График функции
называется интегральной
кривой,
– изоклины
кривые.
Пусть
правая часть уравнения (*) не зависит от
y,
то есть
,
тогда
.
На рисунке представлено семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра C.
Пусть
.
Будем считать независимой переменной
y,
а x
– функция от y,
то есть
.
Тогда
.
Но если
и это уравнение имеет корень
,
то добавляется решение, которое надо
добавить к общему семейству, зависящему
от параметра C.
Всякая
функция вида
при подстановке в (*), после чего (*)
становится тождеством, является решением
(общим
решением дифференциального уравнения
(*)).
Если
C
взято равным конкретному числу, то
решение φ(x,C0)
называется частным решением уравнения
(*).
-
отсюда
находится значение C.
Условие
Коши
– когда указано, какому x0
соответствует y0.
Задача
Коши:
– условие уравнения + условие Коши, то
есть
.
Пример.
Дано:
и
.
Решить задачу Коши.
Когда
,
то
:
– частное
решение задачи Коши.
Первый класс уравнений – уравнения с разделяющимися переменными.
Принцип решения таких уравнений:
Если
дано условие Коши, то есть
и
,
то:
Если
и уравнение имеет корень
,
то это решение добавляется к основному
семейству.