Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ

ВЕЧЕРНИЙ ФАКУЛЬТЕТ

2 Курс, 3 семестр

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

МИХАЙЛОВ ВЛАДИСЛАВ ДМИТРИЕВИЧ

СТУДЕНТ ГРУППЫ В03-121

НИКОЛАЕВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ

НИЯУ МИФИ, 2010 год.

Лекция 01 (31) (06.09.10)

Двойной интеграл.

Пример. Вычисление двойного интеграла как объёма тела цилиндрической формы.

Разбиваем область D сеткой, D_i – частичные области, M: (ξ_i, η_i). , где D_i – площадь частичной области. Увеличим число частичных областей, измельчая их добавлением новых линий разбиения, тем самым увеличивая точность вычисления объёма. Пусть λ – характеристика разбиения, которая равна , где d_i – диаметр частичной области. Диаметр – максимальное расстояние между любой парой точек в области. Устремим λ к нулю. В пределе получаем точное выражение для объёма: . Это и есть двойной интеграл.

Предположим, что область D – прямоугольник.

Мы знаем, что . Это когда фигура выглядит примерно так:

Возьмём произвольную точку x₀ и построим сечение. Пусть площадь сечения в точке x₀ равна Q(x₀). Спроектируем на ось OY. Элементарный объём:

Так как объём и есть двойной интеграл, то:

Замечание. Ввиду симметрии:

Если в основании не прямоугольник:

Перейдём к определению двойного интеграла в общем случае. Пусть на плоскости XY задана функция и область (P) (область задания функции f(x,y)), её площадь P.

Произведём разбиение площади сеткой кривых P_i, где P_i – частичная область. Внутри частичной области возьмём произвольную точку с координатами (ξ_i,η_i). Составим интегральную сумму: . Характеристику разбиения устремим к нулю. Если существует предел интегральных сумм , то этот предел и называется двойным интегралом: .

Свойства интегральных сумм:

1. на частичной области (P_i), на частичной области (P_i), можно ввести понятия нижней и верхней интегральных сумм (сумм Дарбу):

– нижняя интегральная сумма (сумма Дарбу).

– верхняя интегральная сумма (сумма Дарбу).

2. Если к линиям разбиений добавить конечное число линий разбиения, то s может только увеличиться, а S – уменьшиться.

3. Для любых разбиений , все нижние интегральные суммы ограничены сверху, значит – нижний интеграл Дарбу. Все верхние интегральные суммы ограничены снизу, значит – верхний интеграл Дарбу. Можно записать так: .

Теорема. Необходимое и достаточное условие существования двойного интеграла. Если функция , заданная на области (P) и ограниченная на ней, имеет интегральную сумму , а верхние и нижние интегральные суммы s и S, то двойной интеграл существует тогда и только тогда, когда предел (или в такой форме: , где ω_i – колебание функции на частичной области P_i, где ). Доказательство аналогично для однократного интеграла.

Теорема. Непрерывная на области (P) функция f(x,y) интегрируема на ней.

Доказательство. Берём ε>0. Поскольку функция непрерывна, значит, она равномерно непрерывна, то есть существует такое δ>0, что если взять любые две точки из любой частичной области, диаметр которых d<δ, то , следовательно, , ч.т.д. ().

Теорема. Какие бы конечные значения не принимала функция f(x,y) на кривой L, двойной интеграл от этой функции на всей области P не меняется.

Доказательство. Пусть максимальное расстояние от кривой L до границы S равно некоторой величине δ₁. Если при каких-то значениях функции на кривой L двойной интеграл существует, то кривую можно заключить в такие частичные области с достаточно малой характеристикой λ, чтобы площадь многоугольной области, охватывающей эту кривую, была бы меньше λ. Тогда Q<ε и:

Свойства определённого интеграла:

1. – свойство аддитивности.

2. Свойства линейности:

а)

б)

3. Модуль интеграла меньше или равен интегралу от модуля:

Теорема о среднем. Так как , то, проинтегрировав это неравенство, получим:

, где .