2. Оценка параметров точности с помощью интервальной математики

С точки зрения терминов интервальной математики /6/ принцип соосных окружностей можно сформулировать как определение интервального радиус- вектора в некоторой системе отсчета, в которой ширина интервала радиус-вектора минимальна. При этом удвоенные границы интервала определяют предельные диаметры данной поверхности, ширина интервала - отклонения ее от круглости (или цилиндричности), а положение оси предельных соосных цилиндров определяет отклонение расположения оси поверхности.

Можно ввести также интервальный радиус кривизны профиля сечения. Будем считать, что профиль сечения - непрерывная гладкая, дифференцируемая замкнутая кривая, в каждой точке которой можно вычислить конечную кривизну. Тогда задание интервала радиуса кривизны означает лишь то обстоятельство, что в каждой точке кривизна не может быть ниже нижнего и выше верхнего пределов. Это требование для замкнутой плоской кривой очень ограничительно. Можно показать, что оно при тех же допусках значительно жестче даже требования соосных предельных цилиндров. То есть кривая заданной интервальной кривизны имеет предельные диаметры, равные удвоенным предельным радиусам кривизны, причем некруглость не превосходит 20% от поля допуска, а если исключена овальность, то не более 6% от поля допуска на диаметр.

Понятие интервальной кривизны легко ввести и для дискретных многообразий. В отличие от обычной кривизны абсолютно неприменимой в этом случае, понятие интервальной кривизны дает возможность такого обобщения.

Рассмотрим конечное упорядоченное выпуклое множество точек {1,2,3,...n}. Такое множество точек будем считать имеющим заданный интервальный радиус кривизны [Rк, Rк], если каждая тройка взятых подряд точек обладает следующим свойством: любая точка этой тройки принадлежит дополнению кругов, ограниченных окружностями радиусов Rк и Rк, проходящих через две другие точки тройки.

Причем этому определению эквивалентно определение, кажущееся более узким: средняя точка тройки принадлежит дополнению кругов, ограниченных окружностями радиусов Rк и Rк, проходящих через крайние точки. Упорядоченное множество точек интервальной кривизны будем считать замкнутым и выпуклым, если соединяющая их ломанная кривая замкнута без самопересечений и образует выпуклый многоугольник, а тройки точек (n, 1, 2) и (n-1, n, 1) также обладают свойством интервальной кривизны (рис.8).

Рис. 8.

С помощью теорем комбинаторной геометрии, и в частности теоремы Хелли, можно показать, что и в таком определении интервальный радиус кривизны является более жестким требованием, чем интервал соосных предельных цилиндров. Таким образом и тот и другой интервалы применимы и для определения диаметров по вершинам зубьев развертки и зенкера, шлицевой поверхности и других прерывистых поверхностей, к которым не всегда применим принцип Тейлора.

Таким образом, на основе интервальных методов, эмпирически возникшие и не вполне корректные понятия диаметра отверстия и параметров точности его формы можно заменить на более четкие, полные и непротиворечивые понятия интервальных инвариантов (табл.1). Причем установлена иерархия интервальных инвариантов по жесткости накладываемых ими ограничений на профиль поперечного сечения поверхности (рис.9.). Из установленной иерархии, например, видно, что контроль отверстия двухточечными инструментами, например нутромером, что соответствует нижнему уровню иерархии (рис.9) [Hx, Hx], без дополнительной информации еще не позволяет сделать заключение о том, что диаметр детали удовлетворяет необходимым пределам в смысле принцип Тейлора, то есть определению диаметра признанному стандартным.

Наоборот, при удовлетворении контролируемой поверхностью интервальным инвариантам (верхний уровень иерархии — рис.9), расположенным в иерархии выше, например интервальному радиус-вектору (принцип соосных цилиндров), автоматически гарантируется ее удовлетворение и стандартному определению диаметра (по принципу Тейлора).

В технологии обработки отверстий кроме стандартных характеристик, определяющих отклонение от круглости, отклонение от цилиндричности, от прямолинейности оси и расположения широко применялись и понятия таких частных видов отклонения формы и расположения отверстий, как овальность, огранка, конусообразность, увод и изогнутость оси отверстий (зенитное и азимутальное). К этим характеристикам и в настоящее время прибегают технологи для характеристики точности, достигаемой в конкретном технологическом переходе, поскольку в этих частных видах отклонений часто содержится необходимая технологам информация об особенностях данного перехода, которая полностью теряется в обезличенных стандартных характеристиках, принятых при обозначении точности на чертежах.

Таблица 1

Примеры определений диаметра правильной окружности	Примеры кривых, удовлетворяющих точным инвариантам	Примеры кривых, удовлетворяющих интервальным инвариантам
1) D=Hx ; Hx - длина максимальной хорды в любом угловом положении (контроль нутромером)
2) D=Hш ; Hш - расстояние между двумя параллельными касательными в любом угловом положении (контроль скобой)
3) D=2Ro ; Rо - расстояние от центра окружности до любой ее точки (контроль кругломером)
4) D=2/n ; n - кривизна в любой точке кривой (контроль по патенту РФ № 4925766/28)

Рис.9. Иерархия интервальных инвариант замкнутых плоских кривых

Например, понятие кривизны оси в зенитном и азимутальном (спиральном) направлениях содержит важную информацию о протекании процесса обработки отверстий мерным инструментом, увод которого нарастает с длиной отверстия, причем направление увода может изменяться. Стандартные же характеристики - отклонение от прямолинейности оси и отклонение расположения оси не только не содержат этих важных для процесса характеристик, но и являются взаимопротиворечивыми. Действительно, если осью отверстия считать ось соосных цилиндров с минимальным зазором, то можно вычислить какую-либо точку, через которую проходит эта ось, ее углы в пространстве, но не отклонение от прямолинейности. Вообще понятие искривления оси при этом не возникает. В рамках интервального подхода можно определить ось отверстия как геометрическое место центров концентричных пар окружностей с минимальным зазором, вписанных и описанных около профилей поперечного сечения отверстия. При этом, такое геометрическое место точек является вообще говоря кривой, для описания которой необходимо знать ее конечные точки и кривизны кривой.

При построении концентричных окружностей будут выявлены и отклонения от круглости профилей поперечных сечений и предельные значения диаметра отверстия в этих сечениях. Следует отметить, что при натурных исследованиях такие построения возможны лишь при использовании координатно- измерительных машин или кругломеров, а в вычислительных или компьютерных экспериментах, результатом которых является вычисление текущих значений радиус-вектора, можно использовать аналогичные программы вычисления текущих значений положения центров концентричных окружностей с минимальным зазором.

Однако в контролируемом пофакторном вычислительном эксперименте нет необходимости использования этих сложных программ, выполнение которых занимает значительное машинное время. Например, если в компьютерном эксперименте исключить факторы, приводящие к накоплению смещения текущих центров отверстия и к изменению разбивки (т.е. разностью между диаметром отверстия и инструмента в смысле максимальных хорд), причем исследовать только накопление погрешности огранки с заданным числом граней, то разность между максимальным и минимальным отклонением текущего радиус-вектора отверстий и определит зазор между концентричными окружностями, т.е. - отклонение от круглости с заданным числом граней (рис.10). Если, напротив, исключить факторы, приводящие к накоплению огранки и оставить действующими только факторы, приводящие к накоплению смещения (увод) текущих центров отверстия, то полуразность максимального и минимального отклонений текущего радиус-вектора отверстия и определит отклонение положения центров концентричных окружностей ( ).

Рис. 10.

В таблице 2 приведены достаточно полные и непротиворечивые параметры точности, в использовании которых возникает необходимость при математическом моделировании точности обработки отверстий.

Применение различных отклонений точности диаметра:

2. Для различных видов контроля:

- для арбитражного контроля;

- для выходного контроля;

- для операционного контроля.

Этот параметр гарантирует 100% собираемости спряжений, но не обеспечивает некоторые технические параметры (рис.4), не пригоден для контроля прерывистых поверхностей (рис.5), не удобен при математическом моделировании и при измерениях на КИМ.

1.2. Возможен при математическом моделировании, для КИМ и контроля

прерывистых поверхностей.

1.3. Более удобен при математическом моделировании, при контроле н

(КИМ). Дает полную информацию о текущей точности отверстия, т.к.

определяет текущее отклонение от круглости, и положение центра соосных окружностей - текущую координату оси отверстия.

1.4. Самый жесткий параметр, возможно применение для отверстий высокой точности формы, для отверстий с неполным профилем, например, вскрытых, прерывистых и др.

Таблица 2

Параметры точности отверстий

Наименование и определение отклонения	Изображение отклонений
1	2
Точность диаметра Текущий диаметр поперечного сечения отверстия — интервальная величина (пара чисел), характеризующая верхний и нижний предел данной величины где — верхний предел; — нижний предел. Стандартный текущий диаметр отверстия (в соответствии с принципом Тейлора) Dс: – нижний предел — диаметр вписанной окружности; – верхний предел — максимальная хорда профиля сечения. 1.2. Текущий предельный диаметр Dп: – нижний предел - диаметр вписанной окружности; – верхний предел - диаметр описанной окружности. 1.3. Концентричный текущий диаметр Dk: нижний и верхний пределами являются диаметры соответственно внутренней и внешней касающихся профиля сечения, концентричных окружностей, центр которых находится из условия минимальности зазора между ними 1.4. Текущий диаметр «кривизны» Dкр: - нижний предел - удвоенный минимальный радиус кривизны; - верхний предел - удвоенный максимальный радиус кривизны профиля 1		2
2. Точность формы 2.1. Отклонение от круглости — полуразность между верхним и нижним пределом концентричного текущего диаметра Отклонение от цилиндричности — полуразность между диаметрами соосных цилиндров с минимальным зазором. Поскольку алгоритм определения положения оси соосных цилиндров очень сложен и дает незначительное уточнение по сравнению с другими методами, то приближенно (с достаточно высокой точностью) нецилиндричность можно считать как где — максимальный и соответственно минимальный текущие диаметры из всех поперечных сечений; - непрямолинейность оси. 2.3. Отклонение профиля продольного сечения и частные показатели конусообразность, бочкообразность и седлообразность. Поскольку эти параметры не превосходят отклонения от цилиндричности, т.к. являются и частными случаями, то и рассчитываются также как и в п.2.2. 2.4. Отклонение от прямолинейности оси в пространстве - наименьшее значение радиуса цилиндра, внутри которого располагается реальная ось поверхности вращения (линия) в пределах нормируемого участка. Пространственное искривление встречается редко, например, при схеме одновременного вращения инструмента и детали. Наибольшее отклонение определяется в плоскости направления увода 1	2
3. Точность расположения оси отверстия Отклонением расположения называется отклонение реального расположения рассматриваемого элемента от номинального (ГОСТ 24642-81). Для оси отверстия это отклонение складывается из погрешности установки, детали Dу, что приводит к отклонению оси вращения инструмента от номинального, и увода оси отверстия Dув, возникающего непосредственно в процессе обработки. В общем случае погрешность расположения оси отверстия Dр определяется так: Dр = Dу + Dув, где Dу определяется известными методами, например см. гл. 3.3. Увод оси Dув определяется как наибольшее отклонение оси отверстия от оси вращения инструмента, как правило оно будет в последнем поперечном сечении отверстия. Таким образом различные отклонения расположения оси отверстия, обозначенные D в ГОСТ 24642-81 можно определять как D = Dр = Dув + Dу