Неприводимые представления группы трансляций

	(E,0)	(E,ai)1	(E,ai)2	(E,ai)3	(E,ai)n	(E,ai)N-1
Г(0)	1	1	1	1	1	1
Г(1)	1	exp(2i1/N)	exp(2i1*2/N)	Exp(2i1*3/N)	.	exp(2i1*(N-1)/N)
Г(2)	1	exp(2i2/N)	exp(2i2*2/N)	Exp(2i2*3/N)	.	exp(2i2*(N-1)/N)
Г(3)	1	exp(2i3/N)	exp(2i3*2/N)	Exp(2i3*3/N)	.	exp(2i3*(N-1)/N)
Г(4)	…	…	…	...	...	..
…..	…	…	…	….	….	..
Г(N-1)	1	exp(2i(N-1)*1/N)	…	….	….	exp(2i(N-1)2/N)

Выражение (*) удобно представить в более компактной форме, ибо в скобках стоит скалярное произведение двух векторов q и t_n

q=(m₁/N)b₁+(m₂/N)b₂+(m₃/N)b₃

t_n=a₁n₁+a₂n₂+a₃n₃

b₁=2[a₂a₃]/V, b₂=2[a₃a₁]/V, b₃=2 [a₁a₂]/V, V=(а₁[a₂a₃])

Вектора b_i и a_j выбраны таким образом, что (a_jb_i)=_ij. Вектора b_i носят название векторов обратной решетки. Таким образом, характер  преобразования (E,t_n) равен (E,t_n)=exp[i(qt_n)].

Поэтому применение трансляции (E,t_n) к нормальной координате Q_i дает

(E,t_n)Q_i=exp[i(qt_n)] Q_i/

Таким образом, оказывается, что координата Q_i должна иметь еще один индекс (квантово число) - это q - волновой вектор возбуждения. В нормальном колебании атомы в элементарной ячейке колеблются в определенных фазовых соотношениях, но с одной и той же частотой. При переходе от одной частице к трансляционно-эквивалентной, как это видно из (*), амплитуда колебаний изменяется по кристаллу и периодичность этих изменений описывается с помощью волнового вектора q. Эта периодичность смещений в кристалле подобна стоячим волнам в картине колебаний струны. Волновое движение с q=0 будет представлять собой движение, когда движение во всех элементарных ячейках происходит в фазе. Необходимо отметить, что операция (E,t_n), действующая на Q_q(r) дает смещение в точке (r-t_n) с фазой exp[i(qt_n)], т.е.

(E,t_n)Q_q(r)  Q_q(r–t_n)=Q_q(r)*exp[i(qt_n)].

Умножив обе части на exp[iq(r-t_n)], получим важное соотношение, показывающее, что существует инвариантное относительно трансляций выражение:

Q_q(r-t_n)* exp[iq(r–t_n)]=Q_q(r)* exp[i(qr)]=inv=U_q(r).

Таким образом, операция трансляции (E,t_n) не изменяет функцию Q_q(r)exp[i(qr)], которая, следовательно, периодична с периодом решетки. Это утверждение представляет собой так называемую теорему Блоха, согласно которой собственное решение для любого возбуждения в кристалле имеет вид:

Q_q(r)=U_q(r)*exp[–i(qr)],

причем функция U_q(r) периодична с периодом решетки.

Поскольку здесь шла речь о колебаниях только для примера, вывод о виде возбуждения справедлив для любого типа возбуждения:

_q(r)=U_q(r)*exp[–i(qr)]

Используя общее правило отбора для любого матричного элемента <q,M_f,q>, получим, что соответствующий переход разрешен, если прямое произведение представлений, по которым преобразуются волновая функция начального состояния, волновая функция конечного состояния и оператор перехода M_f, содержит полносимметричное представление группы, т.е. если Г^q*Г^M*Г^q в разложении по неприводимым представлениям содержит Г⁽⁰⁾. Учитывая вид блоховских волновых функций ясно, что характер, по которому преобразуется матричный элемент, является произведением характеров сомножителей exp[i(qt_n)], exp[i(ft_n)] и exp[-i(qt_n)], так что это условие сводится к следующему соотношению:

exp [i(q+f–q)t_n]=1 или q=f+q+K_m

Здесь K_m=m₁b₁+m₂b₂+m₃b₃ целочисленный вектор обратной решетки, построенной на векторах обратной решетки b₁, b₂, b₃. Для этого вектора (по определению обратных векторов решетки) справедливо, что скалярное произведение целочисленного вектора обратной решетки K_m на целочисленный вектор прямой решетки t_n равно целому числу 2, т.е. (t_nK_m)=2(n₁m₁+n₂m₂+n₃m₃). Выражение q=f+q+K_m представляет собой закон сохранения волнового вектора (импульса), который для периодических сред сохраняется с точностью до целочисленного вектора обратной решетки. Поэтому волновой вектор возбуждения в кристалле называется квазивектором, импульс такого возбуждения называется квазиимпульсом, а соответствующее возбуждение называется квазичастицей.