A. Группы вращения

1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ С_n. Это простейший возможный вид симметрии, который содержит одну ось n-го порядка.

2. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ D_n={C_n,C₂}, которые получаются добавлением к n-кратной оси перпендикулярную ей ось С₂. Это, естественно, вызывает (генерирует) появление еще n-1 осей С₂ в плоскости, перпендикулярной оси С_n, причем угол между осями равен /n.

Частный случай такой группы – D₂=V – три взаимно перпендикулярных оси С₂, идентичных с декартовой системой координат.

3. ТЕТРАЭДРИЧЕСКАЯ ГРУППА T={V,C₃}. Это группа симметрии осей правильного тетраэдра. Имеет оси 3C₂ и 4C₃; классы: E; 3C₂; 4C₃¹; 4C₃².

4. ГРУППА ОСЕЙ ОКТАЭДРА (КУБА) O={Т,C₂}. Элементы симметрии 3C₄, 4C₃, 6C₂. Все оси одинаковой кратности (т.е. одного порядка) - эквивалентные, т.е. операции С_n^k и C_n^-k сопряжены. Классы группы О: Е; 8C₃¹, 6C₄¹, 3C₄², 6C₂.

5. ГРУППА ИКОСАЭДРА Р (стандартного символа нет). Группа имеет следующие элементы симметрии: 6C₅, 10C₃, 15C₂ и включает в себя 60 преобразований (операций симметрии).

В. ГРУППЫ ВТОРОГО РОДА

Если к вращательной группе G добавит подходящее отражение, получим новую группу {G,}. Поскольку ²=E, эти группы второго рода имеют одинаковое число вращений простых и вращений с отражением. При добавлении последующих плоскостей в необходимо, чтобы пересечение двух плоскостей, которое является осью С_n, обязательно входило бы в группу G. Хотя инверсия не является самостоятельной основной операцией и входит в группы {G,}, однако часто удобно указывать имеет группа центр инверсии или нет, ибо тогда очень просто получать классы. Таким образом можно получить все остальные группы. Обычно считают, что главная n-кратная ось идет вертикально. Как всегда значок v - вертикальных плоскостей, h - горизонтальных.

6. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ С_nh={C_n,_v}. Частные случаи: a) C_1h: _v=C_s; b) C_2h: E, C₂, _v, C₂_v =I;c) C_3h: E, C₃¹, C₃², _v, C₃¹_v =S₃¹, C₃²_v =S₃².

5. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ С_nv={C_n,_v}. Частные случаи: a)C_2v: E, C₂, _v, `<sub>v</sub> b) C<sub>3v</sub>: E, C<sub>3</sub><sup>1</sup>, C<sub>3</sub><sup>2</sup>, <sub>v</sub>, `_v, ``_v.(См. рис. 13).

6. ГРУППЫ S_n={S_n}. Группы операции, единственным элементом симметрии которых является зеркально-поворотная ось n-го порядка S_n=C_n_v.

7. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ D_nh={D_nh,_h} . Например, в группе D_3h элементы симметрии: C₃, _h, 3_v, 3C₂; Преобразования (элементы группы): E, C₃¹,C₃²; 3C₂; _h; S₃¹,S₃²; 3_v. См. рис. 13.

10. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ D_nh={D_n,_d}.. Симметрия D_3d. Элементы симметрии: C₃, 3C₂, S₆, I, 3_d. Операции: E; C₃¹, C₃²; 3C₂; I; S₆¹, S₆³; 3_d.

11. ГРУППА ТЕТРАЭДРА Т_d={V_d,C₃}. Группа содержит все преобразования симметрии тетраэдра. Всего 24 элемента разбиты по следующим 5 классам: E; 8C₃, 6, 6S₄, 3C₂.

12. ГРУППА ТЕТРАЭДРА Т_h={V_h,C₃}. Поскольку V_h имеет центр инверсии, T_h={T,I}. Классов в этой группе поэтому в два раза больше чем в группе T: E, 4C₃¹, 4C₃², 3C₂, I, 4S₆¹, 4S₆³, 3S₄. См. рис. 14.

13. ГРУППА ОКТАЭДРА O_h={O,I}. Это есть группа всех преобразовании куба. РИ 14.

14.ГРУППА ИКОСАЭДРА P={P,I}. P_h=PC_i. (правильный 20-гранник c треугольными гранями)

Рис. 13. Группы симметрии C₃, C₄, и D_3h

Рис. 14. Группы симметрии тетраэдра T_d и куба O_h.

В кристалле возможны повороты только на определенные углы, т.е. существуют оси С₁, С₂, С₃, С₄, и С₆. В кристаллических обозначениях это оси порядка 1, 2, 3, 4 и 6.

Общее преобразование, возможное для пространственной группы, состоит из поворота (или зеркального поворота) и последующей трансляции; такое преобразование обозначается (R,t). Закон композиции для таких преобразований (т.е. произведение) можно получить, рассматривая применение двух последовательных операций к точке с координатой x.

Если первое преобразование (R,t) переводит точку x в x` , а второе преобразование (S,u) переводит точку x в x, то справедливо:

x=Rx+t и x=Sx+u, т.е x=S(Rx+t)+u=SRx+St+u

Здесь SR – произведение точечных операций симметрии, а St+u – трансляция. Таким образом, произведение (R,t)(S,u)=(SR,St+u) – закон композиции группы. Если (S,u) – оператор, обратный (R,t), то SR=E и St+u=0, т.е.

(R,t)^–1=(R^–1,–R^–1t)

Множество операций {(R,t)} образует группу, являющуюся пространственной группой кристалла. Эта группа не является абелевой, ибо элементы группы не коммутируют. Например,

(Е,t)(R,0)(R,0)(Е,t).