Распределение кристаллических классов по сингониям

СИНГОНИЯ	Число групп	Симметрия решетки	Решетка БРАВЕ	КРИСТАЛЛИЧЕСКИЙ КЛАСС
1.Триклинная	2	Ci-1	P	1. C1-1 2. Ci-1
2.Моноклинная	6	C2h-2/m	P,C	3. C2-2 4. Cs-m 5. C2h-2/m
3.Орторомбическая	13	D2h-mmm	P,C,F,I	6. D2-222 7. C2v-mm2 8. D2h-mmm
4.Тетрагональная	16	D4h-4/mmm	P,I	9. C4-4 10. S4-4 11. C4h-4/m 12. D4-422 13. C4v-4mm 14. D2d-42m 15. D4h-4/mmm
5.Тригональная	10	D3d-3m	P	16. C3-3 17. C3i=S6-3 18. D3-32 19. C3v-3m 20. D3h-3m
6.Гексагональная	11	D6h-6/mmm	P	21. C6-6 22. C3h-6 ¤ 23. C6h-6/m¤ 24. D6-622 25. C6v-6mm 26. D3h-6m2 27. D6h-6/mmm
7.Кубическая	15	Oh-m3m	P,I,F	28. T-23 29. Th-m3 30. Td-43 31. O-432 32. Oh-m3m

Требования инвариантности решетки при поворотах и отражениях R накладывает ограничения на вектора элементарных трансляций a, b, c и углы , , . Возможно, как было установлено, только 7 кристаллических систем (сингоний) или 14 решеток Браве. Кристаллическую структуру можно получить, если с каждой точкой решетки Браве связать группу атомов, называемую базисом. Если базис состоит только из одного атома (например, в узле решетки), то кристаллическая структура будет обладать высшей точечной группой симметрии, возможной для решетки (ибо атом предполагается сферически симметричным). Такие точечные группы – голоэдрические группы.

Если базис состоит не из одной молекулы и не обладает никакой симметрией, то можно ожидать, что кристалл будет принадлежать к триклинной сингонии и решетка относится к классу C₁, а пространственная группа является самой простой – примитивная решетка P и отсутствие элементов симметрии – такая пространственная группа обозначается C₁¹–P1. Если базис имеет центр инверсии, т.е. симметрию C_i , то структура будет относится к триклинной сингонии, но кристаллический класс будет иметь центр инверсии. Таким образом, кристаллический класс будет C_i, а пространственная группа C_i¹-P1. Итак, пространственная группа получается последовательным выбором одной кристаллической системы (сингонии), одного типа решетки Браве, одного типа кристаллического класса и одного типа частичных трансляций _R для каждого элемента симметрии.

Моноклинная система обладает 13 пространственными группами. Детальное описание 230 пространственных групп можно найти в справочном пособии по кристаллографии International tables for X-ray crystallography. Vol.1.Kynock Press, Birminghaim, 1952.

СИММЕТРИЯ ПОЗИЦИИ (SITE–СИММЕТРИЯ).

При образовании кристалла атомы располагаются таким образом, что соответствующее образование описывается одной из 230 пространственных групп. Однако, симметрия поля, в котором находится каждый из атомов может быть не одинакова. Рассмотрим элементарную ячейку некоторой пространственной группы. Если взять произвольную точку элементарной ячейки и применить к ней все элементы группы, то получим число точек, равное или меньшее числа порядка группы. Часть этих новых точек может оказаться в другой элементарной ячейке, т.е. атомы, занимающие эти точки, будут конгруэнтными основному. Другие точки могут оказаться в той же элементарной ячейке и не будет конгруэнтными основному, т.е. не отличаются на вектор

t_n=а₁n₁+a₂n₂+a₃n₃

Такие точки называются гомологическими, а атомы, занимающие их, –гомологическими атомами. Набор элементов симметрии пространственной группы, оставляющих данную точку инвариантной, т.е. переводящую ее саму в себя, носит название группы локальной симметрии или site–группой. Site–группа (группа положения) является, очевидно, подгруппой пространственной группы. Произвольно выбранная точка элементарной ячейки имеет таким образом по меньшей мере симметрию C₁-1. В таком случае говорят, что она находится в общем положении. Однако, если точка находится на одном из элементов симметрии пространственной группы, для некоторых операции симметрии преобразование окажется инвариантным. Такая точка имеет не тривиальную локальную симметрию. Тогда говорят, что она находится в частном положении. Применяя операции пространственной группы к произвольно выбранной точке, можно получить набор эквивалентных (гомологических) точек, из которых любая может быть превращена во все остальные применением операций симметрии пространственной группы, не входящих в site–группу. Число точек, составляющих набор, в общем случае равно числу операций симметрии, возможных для фактор–группы, однако для точек, имеющих не тривиальную локальную симметрию, такой набор может оказаться не полным. Число точек в наборе непосредственно связано с их симметрией. Если порядок site–группы s, а кратность набора t, то порядок фактор–группы h=st. Минимальная кратность набора t=1 может быть только в симморфных группах (т.е. в группах без частичных трансляций). Максимальная кратность равна 192 в некоторых кубических группах. Если рассматриваемая точка находится в частном положении (т.е. на оси или плоскости), то различают частные положения с двумя, одной и без степеней свободы. Точка, лежащая на плоскости, обладает двумя степенями свободы, т.к. частное положение осуществляется в любой точке плоскости; точка, лежащая на поворотной оси, – одной степенью свободы: она может находиться в любом месте оси; точка, лежащая на пересечении двух или более элементов симметрии, не обладает ни одной степенью свободы.

В результате возникновения новых элементов симметрии в пространственной группе из–за пространственной периодичности кристалла наборы эквивалентных точек в элементарной ячейке могут быть повторен. Важно, чтобы все эквивалентные (гомологические) точки были заняты атомами одного типа, т.к. только в этом случае структура с данной симметрией может существовать. Таким образом знание пространственной группы и числа атомов в элементарной ячейке может дать представление о симметрии локального поля, в котором конкретный атом находится. Данные по локальным группам можно найти в следующих ссылках: