Типы плоскостей скольжения

Типы плоскостей	Частичные трансляции
m	Чистая зеркальная плоскость
a	a/2
B	b/2
c	c/2
n	(a+b)/2,(a+c)/2,(b+c)/2
d	(a+b)/4,(a+c)/4,(b+c)/4

Винтовая ось. Пусть R=C_n^z, а _R – частичная трансляция вдоль оси поворота (другой трансляции быть не может). Можно показать, что

,

а единственная компонента трансляции вдоль оси z должна имееть вид _R=(0,0,_R). Поэтому

Величина n₃ может принимать значения меньше n. Например, для n=6 n₃=1,2,3,4,5 и вектора частичных трансляций _R для C₆ могут быть 1*а₃/6, 2*а₃/6, 3*а₃/6, 4*а₃/6, 5*а₃/6. Обозначения этих винтовых осей соответственно 6₁, 6_2, 6₃, 6₄ и 6₅

Аналогичные результаты получаются и для осей C₂, C₃ и C₄:

C₂:  2₁

C₃:  3₁ , 3₂

C₄:  4₁ , 4₂ , 4₃

C₆:  6₁ , 6₂ , 6₃ , 6₄ , 6₅

3.3. Сингонии и кристаллические классы

Проблема классификации кристаллических сред по симметрии состоит в том, чтобы найти такие группы {(R,t)}, в которых бы содержались указанные выше операции и которые были бы совместимы с пространственной периодичностью. Число таких групп 230. Из них 73 группы не содержат частичных трансляций; они называются симморфными.

Точечной группой решетки (голоэдрической группой) называют совокупность операций (R,0) первого и второго рода, совмещающих решетку саму с собой. Очевидным элементом такой группы является центр инверсии (поскольку всегда существуют вектора трансляций t_n и –t_n). Далее, если точечная группа решетки имеет ось симметрии C₂,то всегда имеется плоскость симметрии, перпендикулярная этой оси, т.е. существует группа C_2h; если имеется ось C_n (n=3,4,6), то точечная группа решетки содержит группу C_nv. Таким образом, для выяснения голоэдрических групп нужно составить список точечных групп, которые имеют:

• а) центр инверсии I;

• b) оси порядка 2,3,4 и 6 – C₂, C₃, C₄, C₆;

• c) плоскости отражения _h для C₂ и _v для C₃, C₄, C₆.

Этим условиям удовлетворяют 7 точечных групп, называемых кристаллическими системами (сингониями).

Таблица 7.

Кристаллические системы – сингонии

обозначение Шенфлиса	Обозначение международное	Название кристаллической системы (сингония)
S2=Ci	1	триклинная
C2h	2/¤m	моноклинная
D2h	Mmm	орторомбическая
D3d	3/m	ромбоэдрическая (тригональная)
D4h	4/mmm	тетрагональная
D6h	6/mmm	гексагональная
Oh	m3m	кубическая

В каждой из семи кристаллических систем (точечных групп решетки) находится определенное число типов решеток, которые могут быть простыми (P), базоцентрированными (C), гранецентрированними (F), и объемоцентрированными (I). Поэтому полное количество решеток может быть равно 14 (решетки Браве). Вид элементарной ячейки и возможные типы решеток Браве перечислены ниже.

1. ТРИКЛИННАЯ – C_i. На углы и длины элементарных векторов трансляции не наложено никаких ограничений (из–за отсутствия элементов симметрии, кроме C_i). Решетка примитивная – ; 90^о и аbc.

2. МОНОКЛИННАЯ – C_2h. Есть C₂ и плоскость, перпендикулярная оси C₂. Таким образом, одна их трансляций может быть выбрана перпендикулярно двум другим. Поэтому 90^о, =90^о и аbc. Нетрудно видеть, однако, что ячейка этого типа может быть не только примитивной, т.е. атомы могут быть расположены не только в ее вершинах. Элементарная ячейка может быть примитивная – P и базоцентрированая – C. (Элементарной ячейкой называют ячейку, обладающую симметрией решетки и имеющую наименьший объем).

3. ОРТОРОМБИЧЕСКАЯ – D_2h. Все три элементарных вектора трансляции могут быть выбраны в соответствии с требованиями симметрии, т.е. вдоль ортогональных осей C₂ группы D_2h. ===90^о и аbc. Любая грань в элементарной ячейке в этой сингонии может иметь дополнительный узел. Поэтому ячейка может быть примитивной – P, базоцентрированной – C, объемоцентрированной – I, и гранецентрированной – F.

4. ТРИГОНАЛЬНАЯ – D_3d. ==90^о и а=b=c. Ячейка – P.

5. ТЕТРАГОНАЛЬНАЯ – D_4h. ===90^о и а=bc. Ячейка P и I.

6. ГЕКСАГОНАЛЬНАЯ – D_6h. ==90^о; =120^о и а=bc. Ячейка только P.

7. КУБИЧЕСКАЯ – O_h. ===90^о и а=b=c. Ячейка P, I, F.

ФАКТОР–ГРУППА

Если H – инвариантная подгруппа G, то все элементы G можно получить так: G=H+X₂H+X₃H+....+X_gH. Каждое слагаемое в этой сумме можно рассматривать как элемент новой группы, называемой фактор–группой; обозначается она как G/H. Элементами фактор–группы являются смежные (правые или левые) классы по H: H, X₂H, X₃H ....X_gH. Произведение двух смежных классов также смежный класс:

(X_iH)(X_jH)=X_i(HX_j)H=X_iX_j(HH)=X_iX_jH=X_qH

Единичный элемент – H: H(X_iH)=(HX_i)H=X_iHH=X_iH.

Поскольку подгруппа трансляций T – инвариантная подгруппа пространственной группы G, для описания симметрии кристалла можно ввести понятие фактор–группы G/T :

G=T+(R₂,_R2)T+(R₃,_R3)T+(R₄,_R4)T+..+(R_g,_Rg)T

Так как величины трансляций _Ri весьма малы по сравнению с величинами, рассматриваемыми при изучении макроскопических свойств, все дело происходит так, как будто все элементы симметрии пересекаются в одной точке. Тогда операции симметрии E, R₂, R₃,....R_g образуют конечную группу, изоморфную фактор–группе, поскольку правила умножения элементов той и другой группы идентичны. Таким образом, фактор–группа изоморфна одной из точечных групп, совместимых с пространственной периодичностью кристалла. Такие точечные группы называются кристаллическим классом и их существует всего 32. Они перечислены в следующей таблице, полученной простым перечислением возможных для кристалла точечных групп. В первой колонке таблицы дан общий вид возможных точечных групп, допустимых для периодической пространственной решетки, а во втором столбце перечислены возможные точечные группы.

Таблица7.

Возможные кристаллические классы, изоморфные фактор–группе

	Кристаллический класс	Число групп
Cn	C1,, C2,, C3,, C4,C6	5 групп
Dn	D2,, D3,, D4,D6	4 группы
T	T	1 группа
O	O	1 группа
Cnh	C1ħ=Cs,, C2h,, C3ħ,, C4h,, C6h	5 групп
Cnv	C2v,, C3v,, C4v,, C6v	4 группы
Dnh	D2h,, D3h,, D4h,, D	4 группы
Dnd	D2h,, D3ħ	2 группы
Sn	S2=Ci,, S4, S6=C3i	3 группы
Th	Th	1 группа
Td	Td	1 группа
Oh	Oh	1 группа
всего 32 группы

Распределение кристаллических классов по сингониям дано в следующей таблице. В каждой сингонии указано количество симморфных групп.

Таблица 8.