3.1 Кристаллическая решетка

В число преобразований симметрии тел конечных размеров не могут входить трансляции, поскольку такие операции не оставляют неподвижными определенные точки тела. В случае же бесконечно протяженного тела (бесконечно повторяющийся фигуры) трансляция на величину периода является операцией, которая совмещает такое тело само с самим собой.

Совершенный кристалл представляет собой образование, которое можно получить повторением одной и той же группировки атомов, называемой базисом, в трех вообще говоря не ортогональных направлениях пространства без изменения их ориентации. Такое повторение обеспечивается построением набора точек в пространстве, называемым пространственной решеткой, с помощью правильных (целочисленных) трансляций вида

t_n=a₁n₁+a₂n₂+a₃n₃

Здесь а₁,а₂,а₃ – три независимых некомпланарных вектора, а n₁,n₂,n₃ – целые числа. Движение вдоль одного направления даст цепь, вдоль двух направлений – сеть, вдоль трех направлений – пространственную решетку. Параллелепипед, построенный на векторах a_i – примитивная ячейка. Если с каждой точкой пространственной решетки связать определенным образом ориентированную группу атомов (базис), получится реальный физический объект, называемый кристаллической структурой. Атомы структуры, которые отличаются по положению на целочисленный вектор t_n называются эквивалентными или конгруэнтными.

Атомы не обязательно должны лежать в узлах пространственной сетки. Ячейку периодичности можно выбрать до некоторой степени произвольно. Примитивной ячейкой называется ячейка, на поверхности которой нет ни одного узла (кроме вершин). Сложную решетку часто можно представить как несколько примитивных решеток, вставленных друг в друга, либо как примитивную решетку со сложным базисом. Элементарная ячейка в отличие от примитивной определяется как минимальная область кристалла, периодическое повторение которой дает возможность получить весь кристалл, но обладающая всеми элементами симметрии, которыми обладает кристалл.

Присутствие трансляционного движения в элементах симметрии кристалла означает, что имеют место преобразования типа t_n, множество которых подходит под определение группы. Символ элемента трансляции (Е,t_n). Набор таких операций {(Е,t_n)} удовлетворяет четырем постулатам группы и представляет поэтому подгруппу группы симметрии кристалла:

• 1.(Е,t_n)(Е,t_m) = (Е,t_n+m) правило умножения;

• 2.А(BC)= (AB)C –ассоциативный закон;

• 3.(Е,0) = Е – единичный элемент;

• 4.(Е,t_n)(Е,t_n)^–1 = Е; (Е,t_n)^–1 = (Е,–t_n) обратный элемент.

Наличие трансляций автоматически приводит к возникновению новых элементов симметрии – комбинаций трансляций с элементами симметрии точечных групп (повороты и отражения в плоскости). Типичными примерами таких операций являются винтовые оси и плоскости зеркального скольжения. Это так называемые открытые операции симметрии. Из совокупности всех возможных преобразований симметрии можно образовать группы, совместимые с трехмерной пространственной периодичностью кристаллической структуры и оставляющих кристалл инвариантным. Такие группы называются пространственными группами.

Напомним, что для тел конечных размеров Симметрия тела определяется совокупностью тех перемещений, которые совмещают тело с самим собой; об этих перемещениях говорят как о преобразованиях симметрии. Каждое из возможных преобразований симметрии можно представит в виде комбинации одного или нескольких из трех основных типов преобразовании. Этими тремя существенно различными видами преобразовании являются:

• 1 - поворот тела на определенный угол вокруг некоторой оси;

• 2 - зеркальное отражение в некоторой плоскости;

• 3 - параллельный перенос тела на некоторое расстояние.

Последним типом преобразований может обладать лишь бесконечная среда (кристаллическая решетка). Тело же конечных размеров (молекула) может быть симметрична только по отношению к поворотам и отражениям.

2. Если тело совмещается само с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол =2/n, то такая ось называется осью симметрии n-го порядка и обозначается C_n. Число n может иметь различные целые значения n=2,3.4.... Значение n=1 соответствует повороту на угол 2/1 , или 0, т.е. соответствует тождественному преобразованию. Повторяя операцию C_n два, три и т.д. раз получаем поворот на угол 22/n, 32/n,... и т.д. Эти повороты также совмещают тело само с собой и обозначаются C_n², C_n³ и т.д. Очевидно, что если n кратно p, то C_n^p=C_n/p. Произведя преобразования n раз, мы вернемся в первоначальное положение, т.е. произведем тождественное преобразование, которое принято обозначать символом Е.

3. Если тело совмещается само с собой при зеркальном отражении в некоторой плоскости , то такая плоскость называется плоскостью симметрии. Операцию отражения обычно обозначают также символом . Очевидно, что двукратное отражение в одной плоскости есть тождественное преобразование ^-1=Е.

4. Одновременное применение обоих преобразований поворота и отражения приводим к так называемой зеркально-поворотной оси S_n. Тело обладает зеркально-поворотной осью n-го порядка, если оно совмещается с самим собой при повороте вокруг этой оси на угол 2/n и последующем отражении в плоскости _h, перпендикулярной к этой оси. Это новый вид симметрии, если n четное. Если n-нечетное, то применение этой операции n раз даст поворот на угол 2/n, а нечетное отражение в плоскости даст простое отражение. Только при четном n применение n раз этой операции даст тождественное преобразование, т.е. S_2p^2p=E. Зеркально-поворотное преобразование обозначается S_n. Поскольку при отражении в плоскости , перпендикулярной оси C_n принято ставить индекс h при  плоскость обозначается _h. Важным случаем является зеркально-поворотная ось второго порядка S₂. Легко сообразить, что поворот на угол  с последующим отражением в плоскости _h, представляет собой преобразование инверсии I, при котором происходит отражение тела в точке пересечения оси C₂ и плоскости _h. I=S₂=C₂_h; I_h=C₂; IC₂=_h, т.е. C₂, _h и I взаимно зависимы: наличие любых двух элементов приводит к существованию третьего.

Точечные группы можно построить, добавляя к группе более низкой симметрии дополнительные преобразования (оси симметрии и плоскости отражения) так, чтобы сохранить старые преобразования в группе. Таким образом можно построить такие типы групп.