3.Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер

_{Айнымалылары ажыратылатын теңдеулердің жалпы түрі былай} жазылады:

(1)

(1)теңдеу– дифференциалдық түрде жазылған айнымалылары ажыратылатын теңдеу. Мұнда x пен y бірдей дәрежеде еніп тұр.

(2)

Бұл келтіру айнымалыларды ажырату тәсілі деп аталады. Жалпы, айнымалыларды ажырату деп dx-тың алдында тек х-қа тәуелді, ал dy-тың алдында тек у-ке тәуелді функциялардың тұруын қамтамасыз етуді айтады.

(3)

(3) берілген теңдеудің жалпы интегралы.

Ескерту: Біз дифф−қ теңдеудің шешімін интеграл алуға келтірсек, оны квадратурада шешуге келтірдік дейміз.

5. Біртекті дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін теңдеулер.

1)

Бұл теңдеуде , , , , , - берілген нақты сандар.

бұл теңдеуді шешу үшін келесі жүйені қарастырамыз

шешімі осы жүйенің 2 теңдеуден тұрады. Осы теңдеудің шешімін табамыз. Содан соң ауыстыруын жасаймыз. Мұнда - -тың орнына келген жаңа айнымалы, ал - -тың орнына. Бұл кезде берілген теңдеу және айнымалылары бойынша біртекті теңдеуге келеді. Бұл біртекті теңдеудің шешімін тауып, мен -ның орнына қолданылған ауыстырымды пайдаланып, пен айнымалысына көшеміз. Сонда берілген теңдеудің шешімі шығады.

2)

Бұл кезде немесе ауыстырылуын пайдаланамыз. Сонда теңдеу айнымалылары ажыратылатын теңдеуге келеді.

6.Бірінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер

Белгісіз функция мен оның туындысы сызықты түрде, яғни бірінші дәрежеде байланысқан теңдеуді сызықты дифференциалдық теңдеу деп атайды.

(1)

берілген белгілі функциялар. , - теңдеудің коэф. - теңдеудің бос мүшесі немесе оң жағы деп аталады.

Егер болса, онда теңдеу біртекті сызықты теңдеу д.а.

Егер болса, онда теңдеу әртектісызықты теңдеу д.а.

Біртекті теңдеу. (2)

(1)- ші теңдеуге сәйкес біртекті теңдеу д.а. Бұл айнымалылары ажыратылатын теңдеу.

(3) теңдеу (1) теңдеудің жалпы теңдеуі.

8. Бернулли теңдеуі

Мына түрдегі теңдеуді

Бернулли теңдеуі деп атайды. ,b, - берілген белгілі функциялар, олар Бернулли теңдеуінің коэф-і.

1. ; сызықты теңдеу шығады.

2. ; біртекті сызықты теңдеу шығады.

Бұл теңдеуді шығару үшін теңдеуді -осыған бөлеміз. - нақты сан.

–сызықты теңдеу.

Сызықты теңдеуді шешіп -ті табамыз. Қорыта айтқанда Бернулли теңдеуі сызықтық теңдеуге келтіріледі.

9. Толық дифференциалды теңдеулер

(1)

Дифференциалдар арқылы жазылған теңдеуді қарастырайық. Бұл теңдеуге пен бірдей дәрежеде еніп тұр. , ,берілген және айнымалыларынан тәуелді функциялар, яғни көп айнымалы функциялар.

Анықтама: Егер (1)- теңдеудің сол жағы қандай да бір функциясының толық дифф-лы болса, яғни теңдік орындалса, онда (1)-ші теңдеу- толық дифф-дық теңдеу деп аталады. Бұл кезде (1)-ші теңдеудің жалпы интегралы болып табылады.

18. Лагранж теңдеуі

(1)

түріндегі теңдеуді Лагранж теңдеуі деп атаймыз.

Бұл теңдеуді параметр енгізу арқылы шығарамыз.

бойынша сызықты теңдеу шықты. Бұдан - функциясын табамыз.

параметр бойынша жазылған Лагранж теңдеуінің шешімі.

Ескерту: Лагранж теңдеудің ерекше шешімдері болуы да болмауы да мүмкін.

Ерекше шешім дегеніміз – жалғыздық шарты бұзылған шешімді айтамыз.