5) Біртекті дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін теңдеулер

1. Мына түрдегі теңдеуді (4)

біртекті теңдеуге келтірілетін теңдеу деп есептелінеді. Егер c₁=c₂=0 болса, бұл теңдеу біртекті болады, яғни, (3) түрге келеді. Айталық, c₁,c₂ ең болмағанда біреуі нөлге тең болмасын.

1-жағдай. теңдеулермен берілген түзулер бір нүктеде қиылысады, яғни

Қиылысу нүктелерін тауып, координат жүйесінің бас нүктесін сол нүктеге көшіру керек.

Айталық, (x₀ ,y₀ ) осы екі түзудің қиылысу нүктесі болсын. Бұл жағдайда

u = y − y₀ ,ν = x − x₀

алмастыруларын енгізсек, онда берілген теңдеу біртекті теңдеуге келеді:

Бұл теңдеу біртекті теңдеу сияқты, u = yv алмастыруы арқылы интегралданады.

Егер жоғарыда көрсетілген екі түзу қиылыспаса, онда

Егер пропорционалдық коэффициентті k деп алсақ, онда

, яғни , .

Сондықтан, теңдеуді бұл жағдайда мына түрде жазуға болады:

Бұл жерде жаңа функция z-ті формуласы арқылы енгізіп, тәуелсіз айнымалы айқын кірмейтін теңдеуін аламыз. Оны интегралдып, y-ке көшсек, берілген (4) теңдеудің жалпы интегралын аламыз.

6) Бірінші ретті сызықты теңдеулер

7) 1ретті сызықты д.т. үшін тұрақтыны вариациялау әдісі

8)Бернулли теңдеуі

9)10)толық д.т.,қажетті және жеткілікті шарттары

өзара тең болады да

11)Интегралдаушы көбейткіш

12. Туынды бойынша шешілген 1 ретті д.т.үшін Коши есебінің шешімі бар болуы ж/не жалғыздығы тур.теорема.Мәндес интегралдық теңдеу.

1.Негізгі ұғымдар. Дифференциалдық теңдеу деп әдетте тәуелсіз айнымалыны, ізделінетін функцияны және оның әр түрлі реттегі туындыларын (дифференциалдарын) байланыстыратын теңдеуді айтады.Теңдеуге кіретін туындының (дифференциалдың) ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.Егер ізделінетін функция тек бір аргументтен тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу жай деп, ал бірнеше аргументтен тәуелді болса дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп аталынады. Айтылғанға сай n-ші ретті жай дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:

. ( 1)

Мұндағы х-тәуелсіз айнымалы, у-ізделінетін функция, ал туындылар. Егер (1) теңдеуде екі тәуелсіз айнымалы х₁ , х₂ , бір ғана ізделінетін функция болса , онда ол n-ші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу болар еді де, былай жазылар еді: _.

Егер (1) теңдеуде n=1болса, онда алынған теңдеу

бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп, ал қалған болған жағдайларда жоғары ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады. Егер (2) теңдеу бойынша шешілетін болса, онда алынған теңдеу. (3) туындысы бойынша (туынды қатысты) шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады. (3) теңдеудегі фуекциясын кейінде берілген Д обылсында бір мәнді, қос аргумент бойынша үздіксіз деп есептейміз. Д - облысы (3) теңдеудің анықталу облысы деп аталады. Егер функциясы қандайда болмасын бір нүктесінің аймағында ақырсыздыққа (шексіздікке) айналса, онда теңдеуі (3) қарағанда төңкерілген деп аталады. функциясының осындай нүктелері мен оның анықталмаған, бірақ үздіксіздік қасиеті бойынша анықталуға келетін нүктелерінің жиынын да (3) теңдеудің анықталу обылысына жатқызамыз.

.

Егер -теңдеуде функциясы келесі шарттарды қанағаттандыраса

1. -төртбұрышында үзіліссіз,

2. -төртбұрышында у бойынша Липшица шартын қанағаттандырса, онда (1)-теңдеудің (2)-алғашқы шартын қанағаттандыратын сегментінде анықталған , жалғыз шешімі табылады.

Теорема дәлелдеуі. n1. (1) ,(2)-Коши есебі келесі теңдеуге эквивалентті, мәндес:

Егер белгісіз функция интеграл таңбасының астында тұрса, онда теңдеу интегралдық теңдеу д.а. (1),(2) ~ (3)

(1)- теңдеуді интегралдасақ, , мұнда

Табылған C-ның мәнін орнына қойсақ, (3) теңдеу шығады, керісінше (3) интегралдық теңдеуді дифференциалдасақ х-бойынша туындысын алсақ, онда (1) теңдеу шығады. (2) шарттың орындалатындығы көрініп тұр. Яғни, (3) теңдеу мәндес интегралдық теңдеу .