2) Туынды бойынша шешілген 1 ретті д.Т. Төңкерілген теңдеу

Дифференциалдық теңдеу деп тəуелсіз айнымалыны, белгісіз функцияны жəне оның туындыларын байланыстыратын теңдікті атайды. Егер белгісіз функция тек бір ғана тəуелсіз айнымалыдан тəуелді болса, ондай теңдеуді жəй дифференциалдық теңдеу деп, ал бірнеше аргументтен тəуелді болса, ондай теңдеуді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды. Теңдеуге кіретін туындылардың ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп саналады. 1.Негізгі ұғымдар. Дифференциалдық теңдеу деп әдетте тәуелсіз айнымалыны, ізделінетін функцияны және оның әр түрлі реттегі туындыларын (дифференциалдарын) байланыстыратын теңдеуді айтады.Теңдеуге кіретін туындының (дифференциалдың) ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.Егер ізделінетін функция тек бір аргументтен тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу жай деп, ал бірнеше аргументтен тәуелді болса дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп аталынады. Айтылғанға сай n-ші ретті жай дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:

. ( 1)

Мұндағы х-тәуелсіз айнымалы, у-ізделінетін функция, ал туындылар. Егер (1) теңдеуде екі тәуелсіз айнымалы х₁ , х₂ , бір ғана ізделінетін функция болса , онда ол n-ші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу болар еді де, былай жазылар еді:

_.

Егер (1) теңдеуде n=1болса, онда алынған теңдеу

бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп, ал қалған болған жағдайларда жоғары ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Егер (2) теңдеу бойынша шешілетін болса, онда алынған теңдеу.

(3)

туындысы бойынша (туынды қатысты) шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады. (3) теңдеудегі фуекциясын кейінде берілген Д обылсында бір мәнді, қос аргумент бойынша үздіксіз деп есептейміз. Д - облысы (3) теңдеудің анықталу облысы деп аталады. Егер функциясы қандайда болмасын бір нүктесінің аймағында ақырсыздыққа (шексіздікке) айналса, онда

төңкерілген теңдеуі қарастырылады. функциясының осындай нүктелері мен оның анықталмаған, бірақ үздіксіздік қасиеті бойынша анықталуға келетін нүктелерінің жиынын да (3) теңдеудің анықталу обылысына жатқызамыз.

Көп жағдайларда дифференциалдық теңдеудің шешімі айқындалмаған түрде табылады. (3) теңдеудің шешімі болатын функциясын айқындалмаған түрде анықтайтын арқылы (5) өрнегі (3) теңдеудің айқындалмаған түрдегі шешімі деп аталады. Әдетте біз еркін тұрақты енген шешімді жалпы шешім деп, ал еркін тұрақтының дербес мәнінен шыққан шешімді дербес шешім дейміз.

3)Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу.

4) Біртекті д.Т. Біртекті функцияның анықтамасы.

Егер кез келген k шамасы үшін f(ky,kx) = kⁿf(y,x)

тепе-теңдігі орындалатын болса, онда f(y,x) функциясы екі аргументі бойынша n -дәрежелі біртекті функция деп аталады. Коэффициенттерінің екеуі бірдей n -дәрежелі біртекті үзіліссіз функциялар болатын

M(y,x)dy + N(y,x)dx = 0 (1) теңдеуі y, х бойынша біртекті теңдеу деп аталады. Егер f(y,x) функциясы нөлінші дәрежелі біртекті функция, яғни f(ky,kx)=f(y,x) болса, онда

(2) теңдеуі біртекті теңдеу болады.

Егер деп алсақ, онда f(ky,kx) = f(1, )= болады да, теңдеуді былай жазуға болады:

Мұндай теңдеулердің алмастыруы арқылы айнымалыларын бөлуге болады: ,

Осыдан теңдеуін аламыз. Егер , онда

Бұдан интегралдау арқылы

өрнегін аламыз.Мынадай белгілеу енгізелік:

онда түріндегі қатынасты аламыз. Бұдан y-ке көшіп, (2) біртекті теңдеудің жалпы интегралын аламыз:

Егер болса, оның түбірі теңдеуінің шешімі, оған сәйкес функциясы (2) теңдеудің шешімі болады. Егер бұл шешім жалпы интегралдың формуласынан шығатын болса, оның дара шешім болғаны. Ал жалпы интегралдың формуласынан табылмаған уақытта ерекше шешім болып кетуі мүмкін.