1) Туынды бойынша шешілген 1 ретті д.Т.Геом сипаттамасы,Коши есебі

1.Негізгі ұғымдар. Дифференциалдық теңдеу деп әдетте тәуелсіз айнымалыны, ізделінетін функцияны және оның әр түрлі реттегі туындыларын (дифференциалдарын) байланыстыратын теңдеуді айтады.Теңдеуге кіретін туындының (дифференциалдың) ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.Егер ізделінетін функция тек бір аргументтен тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу жай деп, ал бірнеше аргументтен тәуелді болса дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп аталынады. Айтылғанға сай n-ші ретті жай дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:

. ( 1)

Мұндағы х-тәуелсіз айнымалы, у-ізделінетін функция, ал туындылар. Егер (1) теңдеуде екі тәуелсіз айнымалы х₁ , х₂ , бір ғана ізделінетін функция болса , онда ол n-ші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу болар еді де, былай жазылар еді: _.

Егер (1) теңдеуде n=1болса, онда алынған теңдеу

бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп, ал қалған болған жағдайларда жоғары ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Егер (2) теңдеу бойынша шешілетін болса, онда алынған теңдеу.

(3)

туындысы бойынша (туынды қатысты) шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады. (3) теңдеудегі фуекциясын кейінде берілген Д обылсында бір мәнді, қос аргумент бойынша үздіксіз деп есептейміз. Д - облысы (3) теңдеудің анықталу облысы деп аталады. Егер функциясы қандайда болмасын бір нүктесінің аймағында ақырсыздыққа (шексіздікке) айналса, онда

теңдеуі (3) қарағанда төңкерілген деп аталады. функциясының осындай нүктелері мен оның анықталмаған, бірақ үздіксіздік қасиеті бойынша анықталуға келетін нүктелерінің жиынын да (3) теңдеудің анықталу обылысына жатқызамыз.

Көп жағдайларда дифференциалдық теңдеудің шешімі айқындалмаған түрде табылады. (3) теңдеудің шешімі болатын функциясын айқындалмаған түрде анықтайтын арқылы (5) өрнегі (3) теңдеудің айқындалмаған түрдегі шешімі деп аталады.Әдетте біз еркін тұрақты енген шешімді жалпы шешім деп, ал еркін тұрақтының дербес мәнінен шыққан шешімді дербес шешім дейміз.

2.Теңдеудің геометриялық мағынасы. Дифференциалдық теңдеудің айқындалған немесе айқындалмаған түрдегі шешімі: , ф(х,y) =0 геометриялық тұрғыдан қарағанда – сызық. Бұл сызық (3) теңдеудің интегралдық қисығы деп аталады.(3) теңдеу үшін қойылған Коши есебіне мынадай геометриялық түсініктеме беруге болады: (3) теңдеудің барлық интегралдық қисықтарының ішінен берілген М ( х₀, y₀) нүктесі арқылы өтетін қисықты табу керек. дифференциалдық теңдеуі берілсін және оның шешімі болсын. шешімінің графигі, әрбір нүктесі арқылы жанама жүргізуге болатын үзіліссіз интегралдық қисықты кескіндейді. Интегралдық қисықтың кез келген нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті мәніне тең. Сондықтан, (2) теңдеуі (x,y) нүктесінің координаттары мен бұл нүктедегі интегралдық қисық графигіне жанаманың бұрыштық коэффициенті -нің арасындағы тәуелділікті тағайындайды. x пен y белгілі болса, (x,y) нүктесінде интегралдық қисық жанамаcының бағытын көрсетуге болады. Осындай нүктелердің геометриялық жиынын “тұрақты сына” деп атайды.

Интегралдық қисықтың әрбір (x,y) нүктесіне бұрыштық коэффициенті мәніне тең бағытталған кесіндіні орналастырсақ, берілген теңдеудің бағыттар өрісін аламыз.

Сонымен, теңдеуі Оxy жазықтығында бағыттар өрісін анықтайды, ал оның шешімі әрбір нүктедегі жанама бағыты осы нүктедегі өріс бағытымен дәл келетін интегралдық қисық болады екен.

Берілген теңдеудің бағыттар өрісін жазықтықта құру арқылы интегралдық қисықтарды жуық шамамен кескіндеу мүмкін болады. Бүл әдіс “тұрақты сына” әдісі делінеді.

Әйткенмен көбінесе теориялық немесе практикалық есептерді шешкенде теңдеудің барлық шешімдерін табу емес, қосымша бір шарттары қанағаттандыратын шешім табу талап етіледі. Осындай есептің біреуі -дифференциалдық теңдеулер теориясында елулі маңыз атқаратын –Коши есебі.

(3) теңдеу үшін Коши есебі былай қойылады. (3) теңдеудің барлық шешімдерінің ішінен болғанда берілетін мән -ді қабылдайтын, яғни шартын қанағаттандыратын шешімін табу керек. Қысқаша Коши есебі былай жазылады:

y¢=f (x,y), y (x₀) =у_{0. (4)}

Берілген х₀, y₀- сандары бастапқы мәндер немесе бастапқы берілгендер деп, ал шарт -шешімнің бастапқы шарты деп аталады.

Егер қандай да бір h>0 сегментінде анықталған Коши есебінің жалғыз ғана шешімі табылады,яғни (4) шартты қанағаттандыратын н/е алғышқы шартты қанағат-тын φ—ден басқа ж/не шешімі болмаса онда Коши есебінің жалғыздық шарты орындалады дейміз.