66. Однополостный гиперболоид.
Однополостный гиперболоид
.
(8)
По
виду уравнения (8) заключаем, что
однополостный гиперболоид является
поверхностью, симметричной относительно
координатных плоскостей и начала
координат. Числа 
называются
полуосями однополостного гиперболоида.
Точки 
, 
,
лежащие на поверхности (8), называются
вершинами однополостного гиперболоида.
Пересечем
поверхность (8) плоскостью 
,
тогда в сечении получим эллипс
с полуосями
, 
.
Рис.44
При
изменении 
от 
до 
этот
эллипс описывает поверхность (8).
Если
теперь пересечь поверхность (8)
плоскостью 
(или 
),
то получим в сечении гиперболу
.
При 
первая
гипербола распадается на две прямые 
.
Если 
,
то действительной осью симметрии
соответствующей гиперболы является
прямая, параллельная оси 
,
а при 
-
прямая, параллельная оси 
.
Действительной осью симметрии гиперболы мы называем ту из осей симметрии, которую гипербола пересекает.
Если 
,
то поверхность (8) в сечении плоскостями 
будет
иметь окружности радиуса 
.
Поверхность (8) в этом случае образуется
от вращения гиперболы 
около
оси
.
Общий вид однополостного гиперболоида
изображен на рис. 44.
67. Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид
|
(13.8) |
где , , -- положительные числа.
Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.
Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому
Координаты
ни одной точки плоскости
не
могут удовлетворять данному уравнению.
Следовательно, двуполостный гиперболоид
не пересекает эту плоскость. Найдем
линию пересечения с плоскостью
.
На этой плоскости 
,
поэтому
Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 13.12).
Рис.13.12.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью
Сечение плоскостью также является гиперболой, с уравнением
Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис. 13.13).
Найдем
линии пересечения поверхности с
плоскостями 
, 
.
Уравнения этих линий
Очевидно,
что ни одна точка не может удовлетворять
этим уравнениям, если
.
Если 
или 
,
то плоскость имеет с исследуемой
поверхностью только одну точку
или
.
Эти точки называются вершинами гиперболоида.
Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду
то есть к виду
|
(13.9) |
где 
, 
.
Уравнение (13.9)
является уравнением эллипса, подобного
эллипсу в плоскости
,
с коэффициентом подобия 
и
полуосями
и
.
Нарисуем полученные сечения (рис. 13.13).
Рис.13.13.Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений
Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 13.14.
Рис.13.14.Двуполостный гиперболоид
Если в уравнении (13.8) , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис 4.15).
Рис.13.15.Двуполостный гиперболоид вращения