Множення і ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення багатоцифрових чисел

Множення має багато спільного з діленням. Для виконання множення одноцифрових чисел складають таблицю множення (як суми однакових доданків) і запам’ятовують її. Множення багатоцифрових чисел на одноцифрове зводиться до використання таблиці множення, розподільного закону множення відносно додавання і правил додавання чисел. Наприклад,

453 · 4 = ( 4· 10² + 5 · 10 + 3) · 4 = (4 · 10²) · 4 + (5 · 10) · 4 + 3 · 4.

Користуючись переставним і сполучним законами множення, дістаємо:

(4 · 4) · 10² + (5 · 4) · 10 + (3 · 4) = 16 · 10² + 20 · 10 + 12 = 1812.

Множення числа на багатоцифрове число зводиться до використання правила множення на одноцифрове число і степені числа 10. Для цього множник подають у вигляді суми степенів числа 10 з коефіцієнтами, що є цифрами числа. Наприклад,

453 · 132 = 453 · (1 · 10² + 3 · 10 + 2) = (453 · 1) · 10² + (453 · 3) · 10 + (453 · 2).

Алгоритм множення числа

1. Записати множник у під множником х .

2. Помножити число х на число одиниць b₀ числа у і записати добуток х·b₀ під відповідними розрядами числа у.

3. Помножити число х на число десятків числа у і записати добуток х · b₁, зміщуючи запис на один розряд вліво.

4. Цей процес множення продовжити до обчислення х · b_m.

Знайдені добутки додати

Ділення чисел

Це операція, обернена до операції множення. Вона полягає у знаходженні за відомим добутком двох множників і одним із множників другого (невідомого) множника. Тому при діленні одноцифрових і двоцифрових чисел на одноцифрове використовується таблиця множення одноцифрових чисел.

Отже, взагалі процес ділення цілого невід’ємного числа а на натуральне число в є дія ділення з остачею, яка полягає у знаходженні таких цілих невід’ємних чисел q і r , що а = bq + r, де 0 ≤ r < b.

_ 637 25

50 25

_ 137

125

12

Загальний алгоритм ділення цілого невід’ємного числа а на натуральне число b такий:

1. Якщо а = b, то частка q = 1, остача r = 0.

2. Якщо а > b і число розрядів у чисел а і b однакове, то, помножаючи b послідовно на числа 1, 2, ... ,9, знаходять частку q від ділення числа а на число b і остачу r = а – bq.

3. Якщо а > b і число розрядів у числі а більше, ніж у числі b, то частку і остачу шукають так.

Білет 11

Позиційні і непозиційні системи числення.

Непозиційними були також алфавітні системи: давньогрецька і старослов’янська. В цих системах перші 9 букв означали одиниці, наступні 9 – десятки, ще наступні – сотні.

Позиційні нумерації: шістдесяткова позиційна нумерація, десяткова система числення(виникла в Індії).

Означення: Записом цілого невід’ємного числа х у р-й системі числення називається його подання у вигляді х = а_npⁿ + … + a₁p + a₀, де a_n, …, a_1, a₀ набувають значення 0, 1, ..., р-1, а_n ≠ 0 .

Числа 1, p, p², … , pⁿ називають розрядними одиницями 1-го, 2-го, ... , (n+1)-го розрядів.

Дії над числами в позиційних системах числення, відмінних від десяткової

Порівняння чисел, записаних у системі числення з основою р, виконується так само, як і в десятковій системі числення: порівнюються цифри, починаючи зі старших розрядів.

Дії над числами в не десяткових системах числення виконуються за тими ж правилами, що і в десятковій системі числення. Перш за все для додавання і множення одноцифрових чисел складаються відповідні таблиці. Вони використовуються як при відніманні і діленні одноцифрових чисел, так і при діях з багатоцифровими числами.

Таблиця додавання з р = 5

+	1 2 3 4
1 2 3 4	2 3 4 10 3 4 10 11 4 10 11 12 10 11 12 13

Таблиця множення з р = 5

×	1 2 3 4
1 2 3 4	1 2 3 4 2 4 11 13 3 11 14 22 4 13 22 31

Виконаємо додавання і віднімання чисел, записаних у п’ятірковій системі числення: ₊ 3421₍₅₎ _ 3421₍₅₎

342₍₅₎ 342₍₅₎

4313₍₅₎ 3024₍₅₎

Виконаємо множення і ділення чисел п’ятіркової системи числення:

_×4203₍₅₎ _ 221432₍₅₎ 28₍₅₎

24₍₅₎ 211 4203₍₅₎

32322₍₅₎ _104

13411₍₅₎ 103

221432₍₅₎ _132

132

0

Здійснити перехід від запису числа у десятковій системі числення до запису у не десятковій системі можна за допомогою послідовного ділення. Розглянемо це на конкретному прикладі:

869 = х₍₄₎ 869 4

868 217 4 Отже, 869 = 31211₍₄₎

1 216 54 4

I р. 1 52 13 4

II p. 2 12 3

III p. 1 V р.

IV p.

Білет 12

Означення. Символ , де т і п натуральні числа, називають дробом, т – чисельник дробу і п – знаменник.

Дроби, які виражають довжину одного і того ж відрізка при одиниці довжини е, називаються рівними.

Множина додатних раціональних чисел – це множина натуральних чисел в об’єднанні з множиною дробових чисел. Множину додатних раціональних чисел позначають Q₊. Множина натуральних чисел є підмножиною множини додатних чисел, тобто N Q₊.

Основна властивість дробу: Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на те саме натуральне число, то дістанемо дріб, що дорівнює даному: , де k – натуральне число.

Застосування основної властивості дробу:

• скорочення дробів (заміна даного дробу іншим, що дорівнює йому, але з меншим чисельником і знаменником);

• зведення дробів до спільного знаменника (це заміна дробів рівними їм дробами, що мають однакові знаменники).