Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела

Определение 8.1 Если каждому сопоставлено число , то говорят, что задана последовательность

Некоторые последовательности обладают очень важным свойством – они имеют предел.

Определение 8.2 Последовательность имеет предел, равный числу A тогда и только тогда, когда для любого существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Удобно записывать это определение с помощью логических символов: .

Для обозначения предела последовательности используется символ: .

Примеры. 1) Если для всех n, то

Доказательство. Для любого и любого , и любого n .

2) Если , то

Доказательство. Пусть . Возьмем . Тогда если , то и , поэтому .

Пусть определена в некоторой проколотой окрестности точки а.

Определение 8.3 Функция имеет при предел, равный числу А тогда и только тогда, когда для любой окрестности точки А существует проколотая окрестность точки а такая, что , или, равносильно, такая, что для любого . С помощью логических символов это определение записывается так:

Данное определение называется определением предела по Коши.

В этом определении можно вместо произвольной рассматривать при произвольном и, соответственно, вместо - проколотую окрестность . Тогда оно примет вид: .

Вспоминая, что условие равносильно неравенствам , а условие равносильно условию , получаем равносильную определению 8.3 запись определения предела на «языке »:

Теорема 8.1.

1. Если предел последовательности существует, то он единственен, т.Е. Если и если , то

2. Если предел функции имеет при существует, то он единственен, т.Е. , , то

Доказательство. 1)Предположим, что последовательность имеет пределом число , а также имеет пределом число , . Тогда:

Полагая в этом условии , получаем, что при . Аналогично, поскольку - тоже предел, получаем, что при .

Пусть . Тогда при выполняются условия и , поэтому

Полученное противоречие доказывает теорему.

2)Утверждение этой теоремы доказывается вполне аналогично, но оно будет приведено ниже для полноты изложения. Пусть снова функция имеет при два предела, и . Тогда, применяя определения предела при получаем, что для существуют числа и такие, что при выполняется неравенство , а при выполняется неравенство . Тогда положим и потребуем, чтобы . При этом

Полученное противоречие доказывает теорему.

Определение 8.4 Последовательность называется бесконечно малой, если . Аналогично, функция - бесконечно малая при , если .

Теорема 8.2.Предел последовательности существует и равен А тогда и только тогда, когда можно представить в виде , где - бесконечно малая последовательность.

Аналогично, тогда и только тогда, когда , где - бесконечно малая при функция.

Доказательство. Доказательство проведем для случая функций. Для последовательностей оно вполне аналогично. Итак, обозначим . Условие равносильно тому, что , что равносильно условию , что, в свою очередь, означает, что - бесконечно малая при .

Определение 8.5 Функция называется ограниченной при , если она ограничена в некоторой , т.е. если : .