Пример второй ситуации более простой. Пусть

Очевидно, .

Пусть . Тогда .

Однако

Поэтому .

Определение 13.2. Если функция не является непрерывной в точке , то говорят, что она разрывна в этой точке.

При этом предполагаем, что либо является точкой из области определения, либо она является предельной точкой области определения.

Точки разрыва делятся на следующие классы.

Определение 13.3. Точкой устранимого разрыва называется такая точка , что существует но при этом либо значение либо не определено, либо . В первом случае можно доопределить функцию в точке , во втором – переопределить функцию так, чтобы получилась непрерывная функция.

Поясним сказанное примерами:

1. Пусть . Эта функция не определена в точке , но её предел при существует и равен 1( теорема 9.5).Поэтому можно

доопределить функцию , рассмотрев функцию

По определению, функция – непрерывна в .

2. Пусть

Переопределим функцию в точке , положив .

Получилась непрерывная функция .

И в том, и в другом примере разрыв удалось устранить.

Определение 13.4. Точкой разрыва первого рода называется точка ,

в которой существуют и , причем .

Например, функция обладает разрывом в точке 0 первого рода.

Замечание. По следствию теоремы 10.2 монотонная в окрестности точки функция имеет и . Поэтому она либо непрерывна в точке a, когда оба эти предела равны друг другу, либо имеет в ней разрыв первого рода, когда эти пределы различные.

Определение 13.5. Если хотя бы один из пределов , не существует, или бесконечен, то говорят, что – точка разрыва второго рода.

Вопрос 14: непрерывность элементарных функций

1. Непрерывность многочленов

Так как функция у = х непрерывна в любой точке, по теореме о непрерывности произведения непрерывных функций, функция у = х² – непрерывная. Последовательно применяя вышеупомянутую теорему, получаем, что для любого натурального m функция у = x^m – непрерывна. Умножая непрерывные функции e = x, x², a³, …, x^k на постоянные числа с₁, с₂, …, с_k соответственно, получаем, что c₁x, c₂x², …, c_kx^k – непрерывные функции. Сложив c₀ + c₁x + … + c_kx^k получаем непрерывную функцию. Итак, многочлен – непрерывная на всей прямой функция.

2. Непрерывность рациональной функции

По определению, рациональной функцией R(x) называется отношение двух многочленов, P(x) и Q(x), т. е. R(x) = .

Во всех тех точках x₀, где Q(x) ≠ 0, функция R(x) непрерывна по теореме о непрерывности частного. Если же в точке x₀ выполняется равенство Q(x₀) = 0, то в этой точке может быть устранимый разрыв, как например, в точке x₀ = 1 у функции . Кроме того, в этой точке может оказаться разрыв второго рода, как, например, в точке x₀ = 0 у функции .

Для дальнейшего исследования будет полезной следующая теорема.

Теорема 14.1. Пусть y = f(x) возрастает (или убывает) на промежутке X, причём множество её значений образует промежуток Y. Тогда f(x) – непрерывная на X функция.

Для доказательства вспомним, что если f(x) строго монотонна на промежутке X, то, согласно следствию теоремы 10.2, в любой внутренней точке x₀ этого промежутка существуют и . Если эти числа равны друг другу, то они, ввиду монотонности, равны f(x0) и f(x)ЄC(x0). Если же эти значения не равны друг другу, то во множестве значений Y функции f(x) имеется “пробел” между точками и , опять же ввиду монотонности f(x). Но, по условию, множество значений Y образует промежуток, в котором не может быть “пробелов” по определению промежутка. Теорема доказана.

3. Непрерывность показательной функции

Функция y=a^x монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0<a<1) и множеством ее значений при xÎ является бесконечный промежуток – множество всех положительных чисел. По доказанной теореме, функция y=a^x непрерывна на всей числовой оси.