32.Экспоненциальное сглаживание в рядах динамики.

3) Экспоненциальное сглаживание.

Для выявления долговременных тенденций применяется метод экспоненциального сглаживания. Этот метод позволяет делать краткосрочные прогнозы (в рамках одного интервала), когда наличие долговременных тенденций остается под вопросом.

Метод получил название от последовательности экспоненциально взвешенных скользящих средних. Каждое значение этой последовательности зависит от всех предыдущих наблюдаемых значений.

Уравнение, позволяющее сгладить ряд динамики в пределах произвольного периода времени i содержит три элемента:

Текущее наблюдаемое значение У_i , принадлежащее ряду динамики;

Предыдущее экспоненциально сглаженное значение Е_i-1

Присвоенный вес W.

(21)

Здесь Е_i - экспоненциально сглаженное i-е значение;

Е_i-1 - экспоненциально сглаженное i-1-е значение;

У_i - наблюдаемое исходное i - е значение ряда динамики;

W - сглаживающий коэффициент (0<W<1).

Выбор сглаживающего коэффициента достаточно субъективен. Если исследователь хочет просто исключить из ряда динамики нежелательные циклические или случайные колебания, следует выбирать небольшие величины W (близкие к нулю). В этом случае четко проявляются долговременные тенденции.

Если ряд динамики используется для прогнозирования, необходимо выбрать большой вес W (близкий к 1). Тогда повышается точность краткосрочного прогнозирования.

33.Вычисление тренда с помощью метода аналитического выравнивания.

Применение в анализе рядов динамики методов укрупнения интервалов, скользящей средней, экспоненциального сглаживания позволяет выявить тренд для его описания, но получить обобщенную статистическую оценку тренда посредством этих методов не возможно. Решение этой более высокого порядка задачи достигается методом аналитического выравнивания.

Метод аналитического выравнивания. Он позволяет получить обобщенную статистическую оценку тренда. Тренд y_t рассчитывается как функция времени.

. (22)

Определение теоретических (расчетных) уровней производится на основе адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию развития ряда динамики.

Подбор математической функции осуществляется методом наименьших квадратов

. (23)

Таким образом, сумма отклонений между теоретическими и эмпирическими (полученными на практике) уровнями должна быть минимальна.

Формула (8.23) – это критерий соответствия расчетных и фактических уровней РД.

Главное здесь – подбор математической функции.

Различают следующие эталонные типы развития явлений во времени:

а) равномерное развитие – если абсолютные приросты в РД постоянны:

∆у_ц ≈ const.

Основная тенденция развития в РД со стабильными абсолютными приростами отображается уравнением прямолинейной функции (линейный тренд):

(24)

Здесь а₀ , а₁ - параметры уравнения; t - обозначение времени.

Параметр а₁ является коэффициентом регрессии, определяющим направление развития. Если а₁ > 0, то уровни РД равномерно возрастают, при а₁ < 0 происходит равномерное снижение уровней РД.

б) равноускоренное (равнозамедленное) развитие – уровни таких РД изменяются с постоянными темпами прироста:

Tп_цi ≈ const

Основная тенденция развития в РД со стабильными темпами прироста отображается функцией параболы второго порядка (квадратичный тренд):

(25)

Здесь значения параметров а₀ , а₁ идентичны параметрам линейного тренда,

а₂ - параметр, характеризующий изменение интенсивности развития в единицу времени (ускорение развития или процесс замедления роста).

в) развитие с переменным ускорением (замедлением) – парабола третьего порядка:

(26)

а₃ - параметр, отображающий изменение ускорения.

г) развитие по экспоненте – для стабильных темпов роста. Математически это показательная функция:

(27)

д) развитие с замедлением роста в конце периода (показание абсолютного прироста сокращается в конечных уровнях ряда динамики). Математически это полулогарифмическая функция:

(28)

При изучении неудовлетворенного и реализованного спроса применяют:

е) степенную функцию:

(29)

ж) функцию гиперболы:

(30)

На практике выбор эталонной математической функции достаточно сложная и трудоемкая операция (даже при использовании соответствующего программного обеспечения). Особенно это имеет место для криволинейных функций, теория которых разработана недостаточно.

Для вычисления параметров функции линейного тренда на основе метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

(31)

Для решения системы применяется способ определителей, позволяющий получать более точные результаты за счет сведения к минимуму ошибки из-за округлений в расчетах параметров:

(32)

Здесь значения времени – это целые числа (коды).

Для упрощения расчетов используется специальный подбор показателей времени так, чтобы их сумма равнялась нулю (способ расчета времени от условного начала):

Например, если число уровней в РД нечетное и равно 7, условные значения показателей времени равны:

-7 -5 -3 -1 0 1 3 5 7

Тогда расчет коэффициентов линейного тренда значительно упрощается и м.б. выполнен по формулам:

(33)

После определения параметров линейного тренда подставляем их в искомое линейное уравнение и находим теоретические (выровненные) значения .

Одним из наиболее часто применяемых показателей адекватности математической функции (математической модели) является стандартизованная ошибка аппроксимации:

(34)

Она должна быть минимальна у выбранной теоретической модели тренда.