17. Моделирование сезонной составляющей при помощи фиктивных переменных.

На примере:

Требуется составить спецификацию модели, которая позволяет объяснять величину спроса (y^d) на конкурентном рынке нормального товара значением его цены (p), уровнем душевого дохода потребителя (x) и фактором сезонности (кварталом года).

Этот приём заключается в использовании в модели фиктивных экзогенных переменных. В модели, обсуждаемов в данной задаче, влияние фактора сезонности на уровень спроса отразим путем включения в линейную функцию спроса трёх фиктивных переменных d₁, d₂, и d₃. Эти переменные прнимают, по нашей договорённости, а не объективно (отсюда и происходит их название – фиктивные), следующие значения:

d₁={1- для первого квартала, 0- для других кварталов};

d₂={1- для второго квартала, 0 - для других кварталов}; (1)

d₃={1- для третьего квартала, 0 - для других кварталов}.

Теперь, учитывая решение задачи 1, получаем

y^d = a₀  + a₁ · p + a₂ · x + b₁∙d₁ + b₂∙d₂ + b₃∙d₃, (2)

a₁ < 0, a₂ >0.

Это и есть модель уровня спроса на нормальное благо с учётом фактора сезонности. Заметим, что структурная форма данной модели совпадает с приведённой формой; так бывает в тех случаях, когда эконометрическая модель имеет вид изолированного уравнения. Подчеркнём, что эндогенная переменная модели (2), y^d объясняется пятью экзогенными переменными, из которых три – фиктивные. Добавим, что бинарный характер (1 или 0) фиктивных переменных (1) фактически влечёт изменение структуры уравнения модели (2) в зависимости от значений этих переменных. Так, при q₁=1 (первый квартал) модель спроса (2) принимает вид

y^d = (a₀ + b₁) + a₁ · p + a₂ · x (3)

a₁ < 0, a₂ >0;

а, скажем, в ситуации четвёртого квартала, когда q₁= q₂ = q₃ = 0, модель (2) выглядит иначе:

y^d = a₀  + a₁ · p + a₂ · x, (4)

a₁ < 0, a₂ >0.

В силу данного обстоятельства модели вида (2) с бинарными фиктивными переменными называются моделями с переменной структурой.

Добавим, что состояние фактора, при котором все фиктивные переменные равны 0 именуется базовым.

18. Регрессионная зависимость случайных переменных. Функция регрессии, стандартные модели функции регрессии.

Модели, в состав которых входят случайные возмущения, отражающие воздействие на эндогенные переменные неидентифицируемых факторов принято называть эконометрическими (регрессионными).

Включение в модели случайных возмущений – есть 4-ый принцип их спецификации.

Понятие ожидаемого значения случайной переменной позволяет дать точное определение понятия функции регрессии.

Пусть случайная переменная y принимает свои значения в опыте вместе с переменной x (случайной или детерминированной - неважно). Обозначим символом - закон распределения СП y при фиксированном значении переменной x.

Определение 6.2. Функцией регрессии y на x (эта функция обозначается символом ) называется ожидаемое значение y, вычисленное при заданном значении переменной x, то есть

E(y = (1)

Обратим внимание, что величина , являясь именно функцией аргумента x, позволяет представить случайную переменную y в виде

y = + u, (2)

где u– случайная переменная (остаток), такая, что .

Кроме того, средний квадрат разброса значений переменной y вокруг величины оказывается минимальным при каждом значении переменной x:

, отсюда

является оптимальным алгоритмом прогнозирования значений y по x .

На практике функция (1) чаще всего неизвестна, поэтому вместо неё используют доступные модели, такие как:

линейная функция - f(x)=a₀+a₁∙x и парабола второго порядка - f(x)=a₀+a₁∙x+a₂∙x²

степенная - ,

показательная - f(x) = a₀ · exp(a₁ · x),

функция Перла-Рида - ,

функция Джонсона - f(x) = exp(a₀  + a₁ /x).

ЛММР

Объясняющие переменные в общем случае не зависят от случайного остатка . Данная модель является базовой моделью эконометрики, потому что к такому виду может быть трансформирована практически любая эконометрическая модель в виде изолированного уравнения.

19. Схема Гаусса-Маркова (на примере модели Оукена).

Модель Оукена:

t=1,2,...

где w_t - темп прироста безработицы в году t,

y_t - темп роста ВВП

Пусть в рамках исследуемой модели величины связаны следующим образом:

, причём

Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова ( ). Вот компактная запись этой схемы

где - вектор известных значений эндогенной переменной y_t модели;

- вектор неизвестных значений случайных возмущений u_t;

- матрица известных значений предопределенной переменной w_t модели, расширенная столбцом единиц; наконец,

– вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.

Оценку вектора обозначим . Тот факт, что эта оценка вычисляется по выборочным данным при помощи некоторой статистической процедуры, отразим:

где f(· , ·) – символ процедуры.

Данная процедура именуется линейной относительно вектора значений эндогенной переменной y_t, если: .

, где матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений W предопределенной переменной w_t