Свойства

1. Операции ковариации и корреляции симметричны относительно своих аргументов;

2. Ковариация и корреляция между независимыми переменными равны 0;

3. 

4. ;

5. ;

6. 

7. 

12. Случайная переменная и закон её распределения. Закон распределения Фишера. Квантиль, f крит уровня и её расчёт в Excel.

Опр1. Случайная величина Функция называется случайной величиной на вероятностном пространстве , .

Опр2. Случайной называют переменную которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые невозможно заранее учесть.

Опр3. Переменная x с областью изменения X называется случайной, если свои возможные значения q из множества X переменная x принимает в результате некоторого опыта со случайными элементарными исходами вида .

Закон распределения – функция скалярного аргумента q, определенная на всей числовой прямой, характеризующую объективную возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.

Полной характеристикой СП служит её дифференциальный закон распределения (ЗР). Так называется функция скалярного аргумента q, определённая на всей числовой прямой, характеризующая объективную возможность появления в опыте значений СП x. Если x – ДСП, то

Для дискретной величины

Для непрерывной величины

Закон распределения Фишера

F распределение , где , – независимые случайные величины, распределённые по закону со степенями свободы и .

Плотность ,где

Или

(с неотрицательной областью изменения

, Г(n+1)=n!, а и соответственно натуральные числа (параметры закона Фишера).

Случайная переменная (СП) x именуется дискретной (ДСП), если множество X состоит из конечного или счётного количества констант qi, то есть

X = {q1, q2, ..., qn }.

Если же  X есть некоторый интервал числовой прямой, конечный или бесконечный, то есть

X = (a, b), то СП x называется непрерывной (НСП).

Пусть - две независимые случайные переменные, имеющие распределение с числом степеней свободы n и m.

Случайная переменная называется дробью Фишера, эта величина распределена по закону Стьюдента. Это позволяет при любом альфа вычислить , удовлетворяющее уравнению

также называется t _крит уровня _{Это двухсторонний квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы n.}

Эту величины также можно вычислить с помощь Excel, используя функцию FРАСПОБР по аргументам .

13. Случайный вектор и его основные количественные характеристики (на примере вектора левых частей схемы Гаусса – Маркова при гомоскедастичном неавтокоррелированном остатке).

Рассмотрим набор случайных переменных . Этот упорядоченный набор называется случайным вектором и обозначается :

(1)

Его основными характеристиками служат:

1. Вектор ожидаемых значений компонент:

так называют вектор констант, компоненты которого – мат. ожидания компонент вектора .

2. Ковариационная матрица:

(2)

По главной диагонали располагаются дисперсии компонент случайного вектора. Недиагональные элементы это ковариации компонентов. Например, - это дисперсия компоненты вектора (1). Элемент - это ковариация компонент и вектора (1) Матрица является симметричной.

Количественные характеристики

Свойство операции вычисления ожидаемого значения вектора.

Если обобщить свойство на аффинное преобразование случайного вектора в случайный вектор

Свойство операции вычисления ковариационной матрицы случайного вектора.

Если же обобщить свойство

на аффинное преобразование случайного вектора в случайный вектор .

14. Основные количественные характеристики выхода аффинного преобразования случайного вектора (на примере вектора мнк – оценок коэффициентов функции регрессии линейной модели при гомоскедастичном неавтокоррелированном остатке).

Обратимся к вектору из опыта с бросанием кости. Образуем из его компонент следующие 2 случайных переменных:

(1)

(2)

Рассматривая запись, видим, что случайный вектор является результатом преобразования (1) случайного вектора .

Преобразования служат примером аффинного преобразования (3) случайного вектора в случайный вектор .

- матрица коэффициентов, - вектор констант.

Отметим правила, по которым можно рассчитать основные количественные характеристики выхода аффинного преобразования:

(4) и (5)

Если =0, то преобразование называется линейным.

Основные характеристики выхода рассчитываются по формулам:

M =

.