50. Модель ma(q) и её идентификация.

Вначале рассмотри простейший случай

Теорема. Если u_tϵMA(1) то

1. u_tϵSTS

2. E(u_t)=0, Ϭ_u²=Ϭ_ξ²(1+γ²)

3. Ϭ_uu(τ)=

Автокорреляционная функция ряда MA(1) как инструмент идентификации.

ρ_uu(τ)=

Данная функция служит инструментом идентификации модели MA(1). Подчеркнем, что эта функция может быть оценена по правилу ρ_yy(τ)= . (над сигмами значки оценок).

Рекурсивное уравнение модели:

u_t=γ₁ξ_t-1+ γ ₂ξ_t-2+…+ γ _pξ_t-p+ξ_t

Теорема. Если u_tϵMA(q) то ρ_uu(τ)=0 при τ>q.

50. Оптимальные алгоритмы прогнозирования уровней стационарного временного ряда.

Пусть в моменты времени t=1,2,…,n известны уровни данного STS. А требуется значение уровня ряда t=n+τ.

Исходной информацией для прогноза служат уровни ряда u_t изменяющиеся в момент времени 1,2,…,n.

Прогноз является значением функции f из класса F с аргументами u_1,…,u_n.

Прогноз называют оптимальным, если он удовлетворяет

1. 

2. 

Прогнозный алгоритм оптимальный в множестве всех функций аргумента- это условное матожидание величины u_n+τ.

=E(u_n+τ|u₁,u₂,…,u_n)

Справедлива следующая теорема

Пусть u_tϵAR(1), тогда

=E(u_n+τ|u₁,u₂,…,u_n)=ρ^τu_n

Рассмотрев формулу,мы констатируем, что оптимальное прогнозное правило является линейной однородной функцией аргументов со следующими коэффициентами:

u₁=0, u_n=ρ^τ

Прогнозный алгоритм, оптимальный в классе линейных функций построен в теореме Коши-Винера (10.73)

Вывод: оптимальный прогноз в классе всех функций это условное матожидание будущего ур-ня ряда. Для построение оптимального линейного алгоритма стац. Ряда нужно знать автокорреляционную функцию ряда и сами уровни.

50. Модели нестационарных временных рядов. Идентификация модели тренда.

Аддитивная модель временного ряда

Подчеркнем, что в качестве модели случайного остатка применяется стационарная модель (чаще всего AR(1) или AR(2)). Наличие такой модели позволяется использовать при оценивании параметров модели обобщенный МНК.

Модель адд.вр. ряда оказывается непригодной, если амплитуда сезонной составляющей с ходом времени не остается неизменной. В таком случае используется мультипликативная модель

Которая принадлежит к эм моделям нелинейным по параметрам.

Обсудим алгоритм выбора тренда из заданного класса функций

1) - линейная функция.

2) - парабола второго порядка.

3) - показательная функция.

4) - степенная функция.

5) - логарифмическая функция

6) - логистическая функция, где a₀, a₁, a₂ – положительные константы.

Любая функций проявляет себя в процессе изменения её аргумента (в процессе измененя периода времени t). Характер этих изменений отражается в индикаторах функций из класса F. Чтобы сконструировать эти индикаторы потребуются операторы табличных разностей, определенные по правилам:

ΔT(t)=T(t+Δt)-T(t)

Δ⁽²⁾T(t)= Δ*ΔT(t)= ΔT(t+Δt)- ΔT(t)

В этих формулах приращение времени Δt рассматривается как константа.

Следующие индикаторы( операторы) позволяют идентифицировать функции из класса F.

I₁(T(t))= Δ⁽²⁾T(t)-табл. Разность второго порядка.

I₂(T(t))= Δ^(k+1)T(t)- табл. разность порядка (k+1)

I₃(T(t))= Δ(ΔT(t)/T(t))

I₄(T(t))= Δ( )

I₅(T(t))= Δ(t ΔT(t))

Справедлива следующая теорема:

Пусть T_i(t)ϵF, тогда (I_i(T_i(t))=0) на этой функции индикатор с номерами i тождественно равен 0. Напрмер, на линейной функции T₁ тождественно равен нулю оператор табличной разности второго порядка.

На экспонентной функции тождественно равен нулю индикатор 3, в свою очередь на степенной функции равен 0 I₄. Для логистической функции вид индикатора см. с 241.

Следствие. Если y_t=T_i(t)+u_t, то E(I_i(y_t)=0. Примеры использования обсужденного алгоритма смотри с. 263.