34. Спецификация и оценивание нелинейных по коэффициентам моделей множественной регрессии со специальными функциями регрессии (на примере производственной модели с функцией Кобба-Дугласа).

Данная модель именуется производственной функцией Кобба-Дугласа. В ней Y – уровень выпуска продукции за принятый отрезок времени; K и L – уровни соответственно основного капитала и живого труда, использованные в процессе выпуска величины Y. Видно, что функция не линейна по коэффициентам a=( ,

Для того, чтобы прийти к уравнению, линейному по коэффициентам, используется операция логарифмирования:

Ln Y = ln + lnK + (1- )ln L

Функция LnY аргументов lnK и lnL линейна по коэффициентам , . В силу функциональной зависимости и уравнение можно еще упростить:

y= + , где y=ln Y – ln L=ln( ); x=ln K – ln L= ln( )

Случайный остаток v имеет смысл включить в виде сомножителя, например:

Где v>-1 , u=ln(1+v); .

После подобных преобразований, получили модель парной регрессии:

Пусть случайный остаток u удовлетворяет всем предпосылкам теоремы Гаусса-Маркова. Пусть по обучающей выборке получена МНК-оценка преобразованной модели:

Прошедшая проверку адекватности. Для расчета прогноза по соответствующим значениям выполним:

1. Найдем = ln( ) и вычислим оптимальный прогноз величины = ln ( :

2. Рассчитаем прогноз и стандартную ошибку величины :

= exp( S =

Представим оцененную исходную спецификацию:

Где коэффициенты вычислены по формулам

, ,

Все этапы по порядку:

Шаг 1. В процессе спецификации эконометрических моделей с нелинейными по коэффициентам стандартными функциями регрессии случайные остатки следует включать в поведенческие уравнения в виде соответствующих сомножите­лей. Затем поведенческое уравнение операцией логарифмирования трансформируется в модель линейной регрессии.

Шаг 2. Построив трансформированную линейную модель, следует обратным преобразованием (потенцированием) получить оценку исходной нелинейной модели.

Шаг 3. Прогноз эндогенной переменной исходной нелиней­ной модели можно строить либо при помощи прогноза ее логариф­ма, полученного по оценке трансформированной линейной модели, либо же по оценке исходной модели.

Ш а г 4. Стандартная ошибка прогноза рассчитывается по фор­муле S = .

35. Оптимальное точечное прогнозирование значений эндогенной переменной по линейной модели (случай гомоскедастичного и неавтокоррелированного случайного остатка) на примере модели Оукена.

Рассмотрим модель Оукена:

где - темп прироста ВВП, - изменение уровня безработицы, - случайный остаток. Пусть модель оценена МНК по выборке . Т.о. имеем,

Обозначим, значение экзогенной переменной, при котором необходимо вычислить прогноз ВВП. - прогноз, - наблюденное в реальности значение ВВП.

При наличии информации об объекте-оригинале (выборки), наилучший точечный прогноз вычисляется по правилу:

Стандартная ошибка прогноза: , где ,

В случае модели Оукена

Т.о. точность прогноза падает по мере удаления значения регрессора xот его выборочного среднего.

36. Тест Голдфелда-Квандта гомоскедастичности случайного остатка в лммр

Проверка статистической гипотезы (проверка 2 предпосылки теоремы Г-М). Неадекватность этой гипотезы порождает негативные для МНК-оценок последствия.

Шаг 1.Упорядочить уравнения наблюдений по возрастанию суммы модулей значений предопределенных переменных модели, т.е. по возрастанию значений . Т.о. закладывается естественная предпослыка, что возможная гетероскедастичность остатка в модели, т.е. зависимость его условной дисперсии от объясняющий переменных, имеет специальный вид. (Если случайный остаток гомоскедастичен, то любая зависимость отсутствует)

Шаг 2. По первым уравнениям ( вычислить МНК-оценки параметров модели и величину , (

Шаг 3. По последним уравнениямвычислить МНК-оценки параметров модели и величину

Шаг 4. Вычислить статистику

Шаг 5. Выбрать уровень значимости, с помощью функции FРАСПОБР( ), где определить (1-α)-квантиль, распределения Фишера

Шаг 6. Принять нулевую гипотезу, если

Иначе сделать вывод о гетероскедастичности случайного остатка.

Тест корректен, когда остатки распределены по нормальному закону и выполнены другие предпосылки теоремы Г-М.

Обоснование: из-за утверждения выше – случайные переменные и распределены по закону хи-квадрат с количеством степеней свободы , кроме того они независимы. А значит, случайные переменные и распределены по Фишеру с количеством степеней свободы . Следовательно критерий нулевой гипотезы: . А если величина попадает в это множество, то гипотезу следует отклонить в пользу альтернативной гипотезы .