31. Свойства оценок Эйткена параметров лммр при нормальном векторе случайных остатков: закон распределения дроби .

С учётом и запишем вид оптимальной оценки вектора коэфф. ф-ии регрессии . В мат. стат. эта оценка наз-ся оценкой Эйткена.

,

и в данном случае явл-ся несмещ. эффект. оценками в классе всех несмещ. процедур.

.

.

,

Тогда: а) ,

б) .

32. Оценивание параметров линейной модели множественной регрессии (лммр) при нормальном векторе случайных остатков методом максимального правдоподобия (ммп).

Задача:Пусть в схеме Гаусса-Маркова вектор случайных остатков с числовыми характеристиками , , имеет нормальный закон распределения. Требуется оценить параметры и модели методом максимального правдоподобия.

Решение: Будем предполагать, что объясняющие переменные в модели детерминированные, матрицу полагаем известной. Из и сделанного предположения о числовых характеристиках и законе распределения вектора следует, что вектор тоже обладает нормальным законом распределения с числовыми характеристиками ( и .

Для отыскания оценок параметров ММП составим функцию правдоподобия выборки

( и вычисляем ее логарифм:

Ln L = - . Найдем его производные по аргументам и приравняем их к нулю:

Решим полученную систему уравнений. Сначала из первого уравнения ( после умножения его на ) находим :

Затем подставляем его во второе уравнение системы и после умножения этого уравнения на находим = , где . Полученные величины образуют решение системы и являются искомыми ММП-оценками параметров.(эффективной и ассимптотически несмещенной)

33. Оценивание нелинейных по коэффициентам моделей множественной регрессии методом Гаусса-Ньютона (на примере модели динамического ряда с экспоненциальной функцией тренда).

Если нелинейная по коэффициентам функция регрессии операцией логарифмирования не трансформируется к линейной по коэффициентам, то возможен алгоритм линеаризации общей регрессионной модели, базирующийся на линеаризации ее гладкой (по предположению) функции регрессии в окрестности известных приближенных значений =( ) коэффициентов :

, где = Принимая обозначения , получим регрессионную модель с однородной линейной функцией регрессии

Оценив модель, можем получить оценки коэффициентов исходной модели:

= + , S

Каждая переменная линеаризованной модели является функцией объясняющих переменных исходной модели, от приближенных коэффициентов функция зависит как от параметров.

Рассмотрим модель динамического ряда с экспоненциальным трендом:

Стоит отметить, что функция регрессии является суммой нелинейной по коэффициентам функции тренда (показательной функции) и линейной по коэффициентам сезонной составляющей. Предстоит выполнить линеаризацию только показательной функции:

Шаг 1. Определяются приближенные значения коэффициентов показательной функции. Далее эти величины будут интерпретироваться как константы.

Шаг 2. Используя обозначения:

Составим спецификацию линеаризованной регрессионной модели:

Далее необходимо оценить следующие параметры модели:

Шаг 3. Составляем в рамках модели систему nуравнений наблюдений

Шаг 4. При помощи функции ЛИНЕЙН оцениваем МНК эту модель

Шаг 5. Используя правила, записываем МНК-оценку исходной модели

В данном случае оценка будет иметь смысл ожидаемого темпа прироста уровней эндогенной переменной за каждый квартал после устранения сезонной составляющей. По полученной модели может проведена проверка на адекватность модели.