9. Квадратичные формы в комплексном лп.
-
полуторалинейная форма.
;
- базис в
.
–матрица
полуторалинейной формы:
.
Определение
9.1
Полуторалинейную форму называют
эрмитовой,
если:
.
Теорема
9.1
Полуторалинейная форма эрмитова ⟺
.
■
«⟹»
.
«⟸» Можно представить (упражнение):
,
=
=
.
■
Теорема
9.2
Полуторалинейная форма эрмитова ⟺
в произвольном базисе эрмитова, т.е.
.
■
«⟹»
.
«⟸»
- эрмитова:
⟺
;
.
■
Определение
9.2
- эрмитова полуторалинейная форма в
комплексном ЛП
.Эрмитовой
квадратичной формой
(эрмитовой формой) называется отображение
называется
полярной
полуторалинейной формой к эрмитовой
форме
.
Эрмитова квадратичная форма обладает всеми свойствами обычных квадратичных форм.
1) Полуторалинейная форма, полярная к эрмитовой форме, определена однозначно.
=
,
=
=
=
.
Следовательно,
,
.
2)
Матрица эрмитовой формы в любом базисе
эрмитова:
⟹
a)
,
b)
,
c)
- в каноническом базисе.
3)
Общий вид эрмитовой квадратичной формы:
.
4)
5) Канонический вид эрмитовой квадратичной формы:
.
6) Метод Лагранжа применим и для эрмитовой квадратичной формы. Изменение алгоритма состоит в том, что на любом шаге выделяется полный квадрат модуля:
.
7) Формулы Якоби остаются в силе.
8)
принимает вещественные значения.
Следовательно, выполняются закон
инерции, критерий Сильвестра.
2.