6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

Пусть в задана квадратичная форма,- матрица квадратичной формы в базисе.

Главные миноры матрицы :

.

Теорема 6.1 (Якоби) Пусть в базисе и все главные минорыматрицыотличны от нуля. Тогда существует базис, в котором квадратичная формаприводится к каноническому виду:

где - координаты векторав базисе.

■ Будем искать в виде:

,

,

, (6.1)

…

.

Или

. (6.2)

Коэффициенты ищем из условия:

. (6.3)

Покажем, что в базисе имеетдиагональный вид. Рассмотрим;

.

В силу симметрии матрицы квадратичной формы . Следовательно, матрицаимеет диагональный вид. При этом:. Докажем, чтоопределяются однозначно и.

Составим систему уравнений, подставив в (6.3):

. (6.4)

Распишем (6.4) :

,

,

… (6.5)

,

Систему (6.5) перепишем в матричной форме:

, (6.6)

Определитель системы (6.5) ((6.6)): , следовательно, по правилу Крамера существует единственное решениенеоднородной СЛАУ. Так, для.

Покажем, что образует базис. Действительно, определитель матрицы перехода имеет вид:

.

Следовательно, преобразование невырожденное, следовательно, образуют базис. ■

7. Закон инерции квадратичных форм.

Пусть в вещественном ЛП дана квадратичная формаранга.

Из теоремы Лагранжа следует, что квадратичную форму можно привести к виду:

.

Рассмотрим невырожденное преобразование:

.

Следовательно, квадратичная форма примет вид

, (7.1)

где принимают значения.

Определение 7.1 Выражение (7.1) называется нормальным видом квадратичной формы.

Теорема 7.1 (закон инерции вещественных квадратичных форм).

Число положительных коэффициентов в представлении (7.1), называемых положительным индексом инерции, число отрицательных коэффициентов, называемых отрицательным индексом инерции, и число нулевых коэффициентов, называемых дефектом квадратичной формы, являются инвариантами квадратичной формы, т.е. не зависят от базиса, в котором данная квадратичная форма принимает нормальный вид.

■ Пусть существует два базиса, в которых имеет нормальный вид:

,

.

Надо доказать, что .

Пусть и. Рассмотрим- линейную оболочку,- линейную оболочку..

.

Следовательно, существует ненулевой вектор , следовательно,можно разложить по векторами:

,

,

Т.к. ,⟹ ,

⟹ противоречие, предположение - неверно. Аналогично доказываются случаи. ■

8. Классификация квадратичных форм в вещественном пространстве. Критерий Сильвестра.

Определение 8.1 Вещественная квадратичная форма , определенная в вещественном ЛП, называется:

1) положительно определенной, если ;

2) отрицательно определенной, если ;

3) знакопеременной, если ;

4) квазиположительно определенной, если ;

5) квазиотрицательно определенной, если .

Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы называются знакоопределенными (знакопостоянными); квазиположительно (квазиотрицательно) определенные – называются квазиопределенными.

- положительный индекс инерции; - отрицательный индекс инерции.

Теорема 8.1 Вещественная квадратичная форма является:

1) положительно определенной ⟺ ;

2) отрицательно определенной ⟺ ;

3) знакопеременной ⟺ ;

4) квазиположительно определенной ⟺ ;

5) квазиотрицательно определенной ⟺ .

■ Докажем случай 1).

«⟹» Пусть - положительно определена и, следовательно, нормальный вид квадратичной формы:

,

Рассмотрим с координатами:⟹

⟹противоречие.

«⟸» Пусть ⟹ нормальный вид: ⟹ положительно определена.

Аналогично 2) – 5). ■

Теорема 8.2 (Критерий Сильвестра)

Пусть задана в вещественном ЛП,- главные миноры матрицы. Тогда:

1) - положительно определена⟺ ;

2) - отрицательно определена⟺ , т.е..

■ Докажем первый случай. 1)

«⟹»- положительно определена. Докажем, что. От противного. Пусть. Рассмотрим однородную СЛАУ:

,

,

следовательно, существует нетривиальное решение :

для . (8.1)

Умножим (8.1) на и просуммируем:

,

, где ,

следовательно, противоречит тому, что - положительно определенная квадратичная форма,⟹, ,⟹, приведемк каноническому виду методом Якоби:

. (8.2)

В (8.2) возьмем в качестве

.

«⟸»

Т.к. ,то из разложения Якоби следует, что .

2) Пусть - отрицательно определена⟺ - положительно определена ⟹

,

⟹- главные миноры матрицы , тогда. Из условия положительной определенности квадратичной формыследует, что. ■