5. Самосопряженный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве. Эрмитовые (симметрические) матрицы. Связь между нормальным, самосопряженным и унитарным операторами.

Определение 5.1 Линейный оператор , действующий в унитарном (евклидовом) пространстве называетсясамосопряженным, если . Самосопряженный оператор в унитарном пространстве называютэрмитовым, в евклидовом – симметрическим. Квадратная матрица называетсясамосопряженной, если , т.е.. Комплексную самосопряженную матрицу называютэрмитовой, вещественную – симметрической.

Теорема 5.1 (свойства самосопряженных операторов)

1) Самосопряженный оператор – нормальный (⟹ удовлетворяет свойствам нормальных операторов Т2.1).

2) Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

3) - самосопряженный оператор⟺ в любом ОНБ - эрмитова матрица.

4) .

∎ 1) ⟹ - нормальный оператор.

2) .

3) - эрмитова матрица, т.е.⟺ в любом ОНБ .

4) .∎

Теорема 5.2

1) – самосопряженный ⟺- нормальный оператор и все собственные значения этого оператора вещественны.

2) 𝒰 - унитарный оператор ⟺ 𝒰 – нормальный оператор и все собственные значения по модулю равны единицы, т.е.

∎ 1) «⟹» Т 5.1

«⟸» - нормальный оператор;.

Из основной спектральной теоремы ⟹ существует ОНБ из собственных векторов: .

,

.

2) «⟹» - унитарный⟹ – нормальный..

«⟸» 𝒰 – нормальный оператор и существует ОНБ из собственных векторов:.

⟹–унитарный. ∎

6. Спектральные теоремы для самосопряженных операторов и эрмитовых (симметрических) матриц. Спектральные теоремы для унитарных операторов и унитарных матриц.

Теорема 6.1 Линейный оператор, действующий в унитарном пространстве самосопряжен⟺ существует ОНБ из собственных векторов и все собственные значения – вещественны.

∎ «⟹» - самосопряженный⟹ по Т5.2 - нормальный и⟹ по Т4.1 (основная спектральная теорема) существует ОНБ из собственных векторов.

«⟸» Существует ОНБ из собственных векторов ⟹ по Т4.1 - нормальный и⟹𝒜 – самосопряженный. ∎

Теорема 6.2 Матрица - эрмитова ⟺ все собственные значения матрицы вещественны и существует унитарная матрица, столбцы которой – собственные векторы матрицы, отвечающие собственным значениям.

∎- эрмитова матрица ⟺ для любого ОНБ - самосопряжен ⟺- нормален и⟺- нормальная матрица и⟺– унитарная матрица. ∎

Замечание. Теоремы 6.1, 6.2 верны и для евклидова пространства.

Теорема 6.3 - унитарный ⟺ существует ОНБ из собственных векторов и.

∎ «⟹»– унитарный ⟹- нормальный и⟹ существует ОНБ из собственных векторов.

«⟸» Существует ОНБ из собственных векторов ⟹ - нормальный и⟹– унитарный. ∎

Теорема 6.4 Матрица - унитарна ⟺ существует унитарная матрица.

∎- унитарна ⟺ в любом ОНБ - унитарный оператор ⟺- нормальный и⟺ существует унитарная матрица.∎

Каноническая форма матрицы унитарного оператора.

- унитарный оператор ⟹ существует ОНБ из собственных векторов:

.

Каноническая форма матрицы ортогонального оператора.

Если - ортогональный оператор⟹ .

В ОНБ - ортогональная матрица, т.е..

Одномерный случай. .

Двумерный случай. По Т4.2 существует ОНБ, в котором оператор имеет либо вещественную диагональную матрицу, либо вещественную матрицу, вида .

В первом случае на диагонали расположены собственные значения оператора . Во втором случае.

Положим .

- недиагональная матрица, т.к. не имеет вещественных корней.

Таким образом, для любого ортогонального оператора в двумерном евклидовом пространстве существует ОНБ, в котором оператор имеет одну из следующих матриц:

.

Общий случай. Для любого ортогонального оператора в евклидовом пространстве существует ОНБ , в котором его матрица имеет квазидиагональную форму:

.