4.2 Уравнение клотоиды

Клотоида как математическая кривая представляет собой спираль, радиусы кривизны которой непрерывно изменяются от ρ = ∞ в начальной точке, до ρ = 0 в конце (в бесконечном удалении от начала).

Рисунок 1

В качестве переходной кривой или самостоятельного дорожного закругления применяется начальный участок клотоиды от ρ = ∞ (точка отхода от начальной прямой, которую обычно называют главной касательной) до ρ = R на расстоянии L от начала клотоиды.

Степень изменения кривизны клотоиды характеризует параметр

A = √ R * L ,

где R– радиус кривизны конца рассматриваемого отрезка клотоиды длиной L;

L – длина отрезка клотоиды от ее начала до данной точки на ней, где радиус кривизны ρ = R.

4.3 Закругления в виде двух сопряженных клотоид

При проектировании клотоидной трассы должно быть выдержано определенное соотношение между радиусом кривизны конца клотоиды R и ее длиной L, чтобы нарастание центробежного ускорения было не более определенной нормативной величины (0,5-0,6 м/с³).

При назначении радиуса R исходят из категории проектируемой дороги, чтобы обеспечить расчетную скорость движения автомобилей.

В зависимости от расчетных скоростей минимальные значения параметра А = √ R * L.

Таблица 2

Категория	V	IV	III	II
Расчетная скорость, км/ч	60	80	100	120	140
Минимальное значение А	100	150	200	350	500

Для удобства пользования это соотношение выражено графически на совмещенной номограмме с некоторым расширением пределов расчетных скоростей.

Рисунок 2

В номограмме приведена минимально допустимая для данного радиуса длина переходной кривой, соответствующие скорости движения автомобиля, а также величина нарастания центробежного ускорения.

Необходимо задаваться такими значениями R и L, чтобы точка Т пересечения координат была не ниже линии J=0,5-0,6 м/с³ или по заданной величине V определяем параметр А (точка S).

4.4 Основные элементы клотоидной кривой

Рисунок 3

Закругление, состоящее из двух ветвей сопряженных клотоид, называется биклотоида.

α – угол поворота трассы, α = 2 * β;

β – угол клотоиды;

А – параметр клотоиды;

Т – тангенс клотоидной кривой (биклотоиды);

К – длина биклотоиды;

Д – домер;

Б – биссектриса;

L – длина клотоиды;

Т_Д – длинный тангенс клотоиды;

Т_К – короткий тангенс клотоиды;

Б_кл – биссектриса клотоиды;

S_Б – расстояние от начала координат до ее биссектрисы;

координаты конца клотоиды: X_К – абцисса, Y_К – ордината.

Если β₁ = β₂ , и соответственно Т₁ = Т₂ ; Т_К1 = Т_К2 ; Т_Д1 = Т_Д2 ; L ₁ = L₂, то клотоида симметричная. Если элементы не равны – клотоида несимметричная.

4.5 Симметричная биклотоида

Рисунок 4

Разбивка симметричной биклотоиды с помощью таблицы [2] не представляет сложности. Элементы клотоидной кривой в таблице [2] приведены для R = 100 м.

При трассировании часто известны угол поворота α и длина тангенса.

Пример 1. Дано: α = 43⁰ 30^/ , Т_дан = 175 м.

Надо определить элементы закругления.

Из таблицы I-а [2] в строке α = 43⁰ 30^/ находим табличное значение Т_табл=78,629.

Определяем соотношение:

Т_дан / Т_табл = 175,0 / 78,629 = 2,226.

Выписываем из таблицы I-а [2] значения элементов клотоиды и умножаем их на найденный коэффициент.

R = 100 * 2,226 = 222,60 м;

К = 151,844 * 2,226 = 338,00 м;

L = 75,922 * 2,226 = 169,00 м;

А = 87,133 * 2,226 = 196,96 м;

Д = 2 * Т – К.

Параметр А должен быть не менее минимального для принятой расчетной скорости. В противном случае надо увеличивать Т_дан.

Если даны угол α и биссектриса Б_дан , то также через соотношение

Б_дан / Б_табл находят коэффициент и затем его умножают на табличные значения всех элементов.

Зная пикетажное положение вершины угла, определяем местоположение главных точек закругления.

ПК ВУ №1 - Т = ПК НЗ

ПК НЗ + К = ПК КЗ