3. Как решить задачу линейного программирования методом перебора вершин?

4. Как решить задачу линейного программирования методом градиента?

5. Назовите условия разрешимости задачи и единственности решения задачи линейного программирования.

Вначале дадим некоторые определения.

Определение 1. Множество точек называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий их

же выпуклое множество.

Определение 2. Пересечение конечного числа выпуклых множеств также выпуклое множество.

Определение 3. Точка выпуклого множества называется угловой , если через неё нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек данного множества и для которого она была бы внутренней.

Утверждение 1. Множеством решений системы m линейных неравенств с n переменными является выпуклый многогранник в n-мерном пространстве.

Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым. Ранее говорилось, что ограничениями любой задачи линейного

программирования являются либо система линейных уравнений, либо система линейных неравенств. Совокупность решений таких систем при условии их совместности образует выпуклые множества с конечным числом угловых точек. В частном случае, когда в систему ограничений  неравенств входят только две переменные x1 и x2, это множество можно изобразить на плоскости.

Теорема 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает с одной (двумя) из угловых точек множества допустимых решений.

Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений системы ограничений, и наоборот.

Таким образом, если область допустимых планов непустая и ограниченная, то для каждой из задач  на максимум целевой функции или на минимум целевой функции, существует оптимальный план.

6. Сформулируйте основные теоремы симплекс-метода.

Теорема 1. Если для некоторого вектора, не входящего в базис,

выполняется условиеj = fj  cj < 0, где fj =  то можно получить новый опорный план, для которого значение целевой функции будет больше исходного; при этом могут быть два

случая: а) если все координаты вектора, подлежащего вводу в базис, отрицательны, то задача линейного программирования не имеет решения;

б) если имеется хотя бы одна положительная координата у вектора, подлежащего вводу в базис, то можно получить новый опорный план.

Теорема 2. Если для всех векторов выполняется условие j = fj  cj  0, то полученный план является оптимальным.

7. Дайте определения базисных и свободных переменных, решений оптимальных и допустимых.

базисная переменная, отвечающая строке разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу разрешающего элемента, вводится в число базисных.

8. Как заполнить симплекс-таблицу?

9. Объясните алгоритм перехода от одной симплекс-таблицы к другой.

Алгоритм перехода к следующей таблице такой:

- просматривается последняя строка (индексная) таблицы и среди

коэффициентов этой строки, выбирается наименьшее отрицательное число при отыскании max, либо

наибольшее положительное при задачи на min. Если такового нет, то исходное базисное решение является оптимальным и данная таблица является последней;

- просматривается столбец таблицы, отвечающий выбранному отрицательному коэффициенту в последней строке  ключевой столбец (j = k), и в этом столбце выбираются положительные коэффициенты.

Если таковых нет, то целевая функция неограниченна на области допустимых значений переменных и задача решений не имеет;

- среди выбранных коэффициентов столбца выбирается тот, для которого абсолютная величина отношения соответствующего свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому элементу минимальна. Этот коэффициент называется разрешающим, а строка в которой он находится ключевой;

- в дальнейшем базисная переменная, отвечающая строке разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу разрешающего элемента,

вводится в число базисных.

- строится новая таблица, содержащая новые названия базисных переменных: строка разрешающего элемента делится на этот элементи полученная строка записывается в новую таблицу на то же место