Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А.Д. Сахарова»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

(комплексные числа, производные, интегралы, дифференциальные уравнения)

Минск 2008

ББК 22.11я73

УДК 51(076.1)

С 71

Авторы-составители: Т.Е. Кузьменкова, кандидат

педагогических наук, доцент кафедры физики и

высшей математики МГЭУ им. А.Д. Сахарова;

А.В.Шевцова, старший преподаватель

кафедры физики и высшей математики МГЭУ

им. А.Д. Сахарова.

Рецензенты:

В.А.Иванюкович, кандидат физико-математических наук,

зав. кафедрой экологических информационных систем.

Печатается по решению научно-методического совета

Учреждения образования «Международный государственный экологический университет им. А.Д. Сахарова»

Высшая математика (комплексные числа, производные, интегралы, дифференциальные уравнения): Учеб.-метод. пособие /Сост.: Т.Е. Кузьменкова, А.В.Шевцова,– Минск: -,2008. – с.

Пособие предназначено для студентов заочного отделения факультета экологической медицины и содержит контрольную работу по высшей математике, необходимый теоретический материал к каждому разделу контрольной работы.

ББК 22.11я73

УДК 51(076.1)

Предисловие

1. Комплексные числа

Определение комплексного числа. Изображение на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма. Действия над комплексными числами.

2. Производная функции и ее приложения

Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Связь дифференциала с производной. Правила вычисления производных: производная суммы, произведения, частного, производная обратной функции, производная параметрически заданной функции. Таблица производных. Производные и дифференциалы высших порядков.

Правило Лопиталя. Условия монотонности функции. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума, достаточные условия экстремума функции. Исследование функции с помощью производной второго порядка. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования и построения графика функции.

3. Неопределенный и определенный интегралы

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, площади криволинейного сектора, объем тела вращения и длины дуги плоской кривой. Несобственные интегралы.

4. Функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных. Область определения. График функции двух переменных. Предел и непрерывность. Частные производные.

Полный дифференциал функции нескольких переменных. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Теорема о производной сложной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

5. Дифференциальные уравнения

Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Формулы для общего решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Принцип наложения частных решений.