3. Элементы векторной алгебры в пространстве
3.1. Векторы в пространстве
Любой
вектор
раскладывается по базисным векторам
прямоугольной системы координат:
.
Координаты вектора
Если
в пространстве заданы две точки A(x1;
y1; z1),
B(x2;
y2; z2),
то координаты вектора
(x;
y; z)
равны разности соответствующих координат
конца и начала вектора: x
= x2 - x1,
y = y2
- y1, z
= z2 - z1,
т.е. (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Сложение и вычитание векторов
Пусть
даны два вектора
(
1;
2;
3),
(b1;
b2; b3).
Тогда вектор, равный сумме этих векторов,
будет иметь координаты:
+ =( 1+b1; 2+b2; 3+b3),
вектор, равный разности этих векторов, имеет координаты:
- =( 1-b1; 2-b2; 3-b3),
Умножение вектора на число
При умножении вектора ( 1; 2; 3) на число α, на это число умножается каждая координата данного вектора,
т.е. вектор α =(α 1; α 2; α 3).
Условие коллинеарности векторов
Два вектора ( 1; 2; 3) и (b1; b2; b3) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны:
.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
.
Скалярное произведение вектора ( 1; 2; 3) на вектор (b1; b2; b3), заданных относительно прямоугольной системы координат, равно сумме произведений соответствующих координат сомножителей:
.
Длина вектора
Из
свойств скалярного произведения векторов
следует, что длина вектора
.
Если вектор
задан относительно прямоугольной
системы координат
(
1;
2;
3),
то длина его вычисляется с помощью
формулы:
.
Угол между векторами
Косинус
угла
между двумя векторами
(
1;
2;
3)
и
(b1;
b2; b3),
заданными в прямоугольной системе
координат, находится так:
.
Условие перпендикулярности двух векторов
Два
вектора
и
перпендикулярны
тогда и только тогда, когда их скалярное
произведение равно 0,
.
Если эти векторы даны в прямоугольной
системе координат:
(
1;
2;
3)
и
(b1;
b2; b3),
то условие перпендикулярности выражается
через координаты векторов:
.
Векторное произведение векторов
Векторным
произведением двух векторов
и
называется вектор, обозначаемый символом
и удовлетворяющий следующим условиям:
длина этого вектора равна произведению длин данных векторов на синус угла между ними:
;вектор перпендикулярен как вектору , так и ;
векторы , ,
,
взятые в указанном порядке, составляют
правую тройку векторов.
Векторное произведение зависит от порядка сомножителей:
.
Если
,
,
то векторное произведение
равно нулевому вектору тогда и только
тогда, когда векторы
и
коллинеарны.
Вычисление векторного произведения
Если
векторы
,
даны в прямоугольной системе координат,
то векторное произведение вектора
на вектор
определяется формулой:
,
т.е. вектор
имеет координаты:
.
Вычисление площади треугольника
Если
три точки A(x1;
y1; z1),
B(x2;
y2; z2),
C(х3; y3;
z3) даны относительно
прямоугольной системы координат, то
площадь треугольника ABC
можно найти с помощью векторного
произведения векторов
и
:
.
Смешанное произведение векторов
Смешанным
произведением трех векторов
,
,
называется число, равное векторному
произведению
,
умноженному скалярно на вектор
,
то есть
.
Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , .
Смешанное
произведение не меняется при круговой
перестановке сомножителей:
Смешанное произведение меняет знак на противоположный при всякой перестановке, изменяющей последовательность сомножителей:
Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы , , компланарны.
Вычисление смешанного произведения векторов
Если векторы ( 1; 2; 3), (b1; b2; b3), (c1; c2; c3) заданы относительно прямоугольной системы координат, то смешанное произведение векторов вычисляется:
.
Условие компланарности трех векторов
Три вектора , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т.е. =0. В координатах векторов условие компланарности записывается так:
.
Вычисление объема тетраэдра
Объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда, т.е. для вычисления объема тетраэдра можно использовать смешанное произведение векторов.
Так,
если даны координаты четырех вершин
тетраэдра относительно прямоугольной
системы координат A(x1;
y1; z1),
B(x2;
y2; z2),
C(x3,
y3, z3),
D(x4,
y4, z4),
то объем тетраэдра равен
модуля
смешанного произведения векторов:
.
Примеры решения задач
Задача
1.
Вычислить площадь параллелограмма,
построенного на векторах
,
если
.
Решение.
Известно,
что
.
Тогда
кв.
ед.
Ответ.
кв. ед.
Задача
2. Вычислить
объем тетраэдра с вершинами в точках
и его высоту, опущенную из вершины
на грань
.
Решение.
Известно,
что
.
Находим координаты векторов, получаем
.
куб.
ед.
Находим площадь грани :
кв. ед.
Тогда
,
отсюда
.
Ответ.
куб.
ед.,
.