
3 семестр экзамен / Algebra_1_razdel
.pdfБилет 1.1. Инвариантные подпространства. Индуцированный оператор |
|
|
Билет 1.2. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
собственным значениям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Определение 1.1 Линейное подпространство линейного пространства |
- ЛП над . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
называется инвариантным относительно оператора , если → . |
Определение 2.1 Ненулевой вектор называется собственным вектором л.о. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 1.1 Пусть |
|
и - нетривиальное инвариантное подпространство |
, если λ : = λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
относительно линейного оператора . Тогда существует базис ЛП, в котором |
Число λ называется собственным значением оператора , соответствующим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
линейный оператор имеет квазитреугольную форму: |
|
|
|
|
|
собственному вектору . Множество всех собственных значений λ называется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
спектром оператора . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры. 1) - оператор дифференцирования: |
. Любой многочлен |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть , , … - базис в |
, дополним его до базиса в : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
нулевой степени = 0 - собственный вектор с собственным значением λ = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= , , … , |
|
, … |
; – инвариантно относительно |
|
|
|
|
2) - оператор проектирования: = 1 |
2 1; 1 |
|
1 |
→ 1 |
= 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
, , … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 = 1; 2 2 → 2 = λ2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
+ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 1. Если - собственный вектор, отвечающий собственному значению |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
11 |
|
1 |
21 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ α ≠ 0 α - собственный вектор, отвечающий собственному значению λ. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
+ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, любой собственный вектор порождает целое одномерное |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ + |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ + |
|
|
подпространство собственных векторов, из которых исключен нулевой вектор . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+1 |
|
1, +1 1 |
|
|
2, +1 2 |
|
|
|
|
|
, +1 |
|
+1, +1 |
+1 |
|
|
, +1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 2. Теорема 2.1 Собственные векторы , , … |
|
оператора, отвечающие |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ + |
|
|
+ |
|
|
+ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
различным собственным значениям λ1, λ2, … λ линейно независимы. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1, |
1 |
|
2, 2 |
1, +1 |
|
|
, |
|
+1, +1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
11 |
|
|
… 1 |
|
|
|
|
|
… 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По индукции. = 1 – очевидно, так как любой собственный вектор отличен от |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нулевого. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.е. имеет квазитреугольную |
|
Пусть верно для − 1 . Докажем для . Рассмотрим линейную комбинацию: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, +1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
… |
0 |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α + α + + α |
|
|
|
|
|
+ α |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1, +1 |
|
|
|
+1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
2 2 |
|
|
|
|
|
−1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
… |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(α + α |
|
+ + α |
|
|
|
|
+ α ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, +1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
форму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α λ + α λ |
|
|
|
+ + α |
|
|
λ |
|
|
|
|
+ α |
λ |
= . |
|
|
|
|
(2.2) |
|
|
|||||||||||||||||||
Замечание 1. Верно и обратное утверждение: если в базисе |
|
|
|
|
1 1 1 |
|
|
2 |
2 2 |
|
|
−1 −1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= , , … , |
|
, … |
|
|
|
имеет вид (1.1), то = , , … |
- |
|
Умножим (2.1) на λ и вычтем из (2.2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
инвариантное подпространство относительно оператора . |
|
|
|
|
α (λ |
− λ |
|
) |
|
|
+ α (λ |
2 |
− λ |
|
) |
+ + α |
|
(λ |
|
− λ |
|
) |
|
|
= , |
(2.3) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 1.2 Если является прямой суммой нетривиальных подпространств |
1 1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
−1 |
|
−1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
λ |
|
− λ |
|
|
≠ 0, = 1, ( − 1), т.к. λ , λ |
2 |
, … λ |
−1 |
- различны. Т.к. , , … |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1, 2, … , инвариантных относительно линейного оператора , то в ЛП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– линейно независимы, то равенство (2.3) возможно только при α = α |
2 |
= = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
существует базис, в котором матрица л.о. имеет квазидиагональную форму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
α |
= 0. Тогда из (2.1) следует, что α |
|
= .Отсюда или α |
= 0, или |
= . Но |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
… |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≠ , т.к. – собственный α |
= 0. Итак, выполнение (2.1) возможно только в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
|
… |
|
|
: = |
|
. |
(1.2) |
случае: α |
|
= α |
|
= = α |
|
|
|
= α = 0, следовательно, , , … - линейно |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
независимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Линейный оператор, действующий в - мерном ЛП, не может иметь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Аналогично доказательству теоремы 1.1: базис = сумме базисов слагаемых |
более чем различных собственных значений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
подпространств 1, 2, … . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Определение 2 Пусть – подпр-во, инвариант. относит.линейн. оператора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
. Отображ. | : , определенное равенством |
= , , назыв. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
индуцированным оператором, порожден. оператором , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
или сужением оператора на подпр-во . | – линейный оператор: |
| . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 1.3 Характеристический многочлен, его инвариантность по отношению к |
|
Билет 1.3 Характеристический многочлен, его инвариантность по отношению к |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выбору базиса ЛП. Характеристический многочлен индуцированного оператора. |
|
выбору базиса ЛП. Характеристический многочлен индуцированного оператора. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение 3.1 Характеристическим многочленом матрицы |
× |
Теорема 3.3 Характеристический многочлен индуцированного оператора является |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
называется функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делителем характеристического многочлена порождающего оператора. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
λ |
= det − λ , λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1) |
|
|
|
|
|
|
Теорема |
3.4 |
Если |
= 1 |
2 … - |
прямая |
сумма |
|
подпространств, |
|||||||||||||||||||||||||||
Теорема 3.1 Характеристический многочлен |
(3.1) матрицы × является |
инвариантных |
относительно |
оператора |
, |
то |
характеристический |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
многочленом -ой степени от переменной λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многочлен λ |
оператора равен произведению характеристических многочленов |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− λ |
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ , |
λ , … |
λ |
индуцированных операторов |
, |
2 |
, … | |
|
: |
λ |
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
× , = |
|
|
|
− λ |
… |
2 . |
|
|
|
|
λ λ … λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
21 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 3.5 ЛП над . Число λ является собственным значением оператора |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
… |
|
|
− λ |
|
|
|
|
λ - корень его характеристического многочлена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Любой элемент матрицы − λ есть многочлен степени λ не выше 1 любой член |
λ - собственное значение, |
отвечающее |
собственному |
вектору л.о. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
det − λ |
|
есть |
|
многочлен |
от |
λ |
степени |
не выше |
|
. Следовательно, λ |
- |
= λ |
− λ = |
|
ker − λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
многочлен |
|
|
|
от |
|
|
λ |
|
|
|
|
степени |
|
|
|
|
не |
|
|
выше |
|
|
|
: |
|
≠ |
|
|
≠ |
|
|
при некотором |
λ при |
|||||||||||||||||||||
det − λ |
= |
|
|
|
|
|
|
−1 σ α1 |
, 2,…α |
|
|
|
|
… |
|
. |
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
λ |
|
|
≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
α= α1, 2,…α |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1α1 |
2α2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
некотором λ → |
− λ |
является |
вырожденным |
оператором |
|
|
не |
||||||||||||||||||||||||
Все |
|
члены, |
|
отличные |
от |
|
|
|
|
− λ |
|
− λ |
|
… |
|
− λ , имеют |
степень, |
не |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существует обратного оператора |
− λ det − λ |
= 0 при некотором λ |
||||||||||||||||||||
превосходящую |
− 2 |
. Следовательно, в |
слагаемые, содержащие λ−1 |
и λ , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определяются только членом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ - корень характеристического многочлена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 3.3 |
Уравнение |
det − λ |
= 0 |
называется |
характеристическим |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− λ |
− λ … − λ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
−1 λ |
11 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
−λ −1 |
+ |
|
λ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнением для оператора |
. Корни характеристического уравнения называются |
|||||||||||||||||||||||||||||
+ |
+ |
+ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристическими числами оператора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где |
λ |
- многочлен степени − 2 (согласно формулам Виета). Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ + |
|
|
−λ −1 + + |
|
|
|
Собственными значениями оператора являются характеристические числа из |
||||||||||||||||||||||||||
λ |
|
- многочлен степени |
от |
λ: λ |
= −1 |
|
|
−λ |
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
основного поля, и только они. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, |
где |
|
|
= tr , |
= 0 |
= det . |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, вопрос о существовании собственных векторов сводится к вопросу о |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Теорема 3.2 Все матрицы одного и того же линейного оператора имеют одинаковые |
существовании |
|
корней |
характеристического |
|
многочлена, |
|
|
принадлежащих |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
характеристические многочлены. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
основному полю. Известно, что не во всяком поле многочлены имеют корни. В поле |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
и |
|
- матрицы |
линейного оператора |
в различных базисах и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
комплексных чисел любой многочлен -ой степени имеет ровно |
корней, если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
эквивалентны существует невырожденная матрица |
(см. формулу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
любой корень считать столько раз, какова его кратность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
преобразования |
матрицы |
л.о. |
в |
разных |
базисах): |
Следовательно, |
Теорема 3.6 Произвольный оператор, действующий в комплексном пространстве |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
− λ |
|
= −1 − λ |
= −1 − −1λ |
|
|
= −1( − λ ) = |
|
|
(dim = ) имеет: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
−1 |
− λ = − λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) собственных значений, если любое собственное значение считать столько раз, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Итак, характеристический многочлен матрицы линейного оператора не |
какова его кратность как кратность характеристического многочлена; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зависит от базиса, а определяется самим оператором. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) хотя бы один собственный вектор; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение 3.2 Характеристическим многочленом оператора |
|
3) на любом своем инвариантном подпространстве хотя бы один собственный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
называется функция λ |
= det − λ , λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Замечание. Напомним: определителем линейного оператора называется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
определитель матрицы этого оператора в произвольном базисе: det = det |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, характеристический многочлен оператора |
совпадает с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
характеристическим многочленом матрицы этого оператора в произвольном базисе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
След матрицы |
|
линейного оператора |
не зависит от базиса. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
можно ввести понятие следа оператора: |
tr = tr . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 1.4. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного |
Билет 1.5 Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
оператора |
|
|
|
|
|
|
кратность собственного значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема 1 ЛП над . Число является собственным |
λ0 - собственное значение оператора . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
значением оператора |
– корень его характеристического многочлена. |
Определение |
4.1 Множество λ = |
|
| = λ0 |
называется |
собственным |
|||||||||||||||||||||||
– собствен. значение, отвечающее собствен. вектору |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
подпространством оператора , отвечающим собственному значению λ0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
Замечание. |
λ = ker − λ0 |
λ |
|
|
(ЛПП |
ЛП |
) |
– |
инвариантно |
||||||||||||||
л.о. |
≠ |
− = , ≠ , |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
относительно . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Определение 4.2 Размерность λ0 |
называется геометрической кратностью |
|||||||||||||||||||||||
Ker ( − ), ≠ при некотором при некотором → ( − |
||||||||||||||||||||||||||||||
) явл. вырожден. оператором |
|
собственного значения λ0, а кратность λ0 |
как |
корня характеристического |
||||||||||||||||||||||||||
не существ. обратного оператора − det − = 0 при |
многочлена – его алгебраической кратностью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Теорема 4.1 Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его |
||||||||||||||||||||||||||||||
некотором - корень характеристического многочлена. |
||||||||||||||||||||||||||||||
алгебраической кратности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Определение1 Уравнение det − = 0 называется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
, |
λ0 - собственное значение л.о. ; |
- алгебраическая кратность, |
- |
|||||||||||||||||||||||||||
характеристическим уравнением для оператора . Корни характеристич-го |
||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения назыв. характеристическими |
геометрическая |
кратность |
= dim λ0 . |
λ0 |
– |
собственное |
подпространство, |
|||||||||||||||||||||||
числами оператора. Собственными значениями оператора являются только |
инвариантное |
относительно . |
Рассмотрим индуцированный оператор | λ0 . |
|||||||||||||||||||||||||||
характеристич. числа из основного поля. |
Найдем его характеристический многочлен |
λ |
. Пусть , , … - |
базис в |
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
… |
0 |
λ0 |
|
||||||||
Теорема2 Произвольный оператор, действующий в комплексном |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ0 |
|
|
||||||||||
пространстве (dim = )имеет: |
Тогда матрица оператора | |
в базисе , , … |
имеет вид: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1) собственных значений, если любое собственное значение считать столько раз, |
|
|
|
|
|
λ0 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
… |
λ0 |
|
|
||||||||
×. Следовательно, |
|
|
λ0 − λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
какова его кратность как кратность характеристического многочлена; |
1 |
λ = |
Согласно |
|
Т3.3 |
характеристический |
||||||||||||||||||||||||
2) хотя бы один собственный вектор; |
многочлен |
1 λ |
индуцированного |
оператора |
|
является |
|
делителем |
||||||||||||||||||||||
3) на любом своем инвариантном подпр-ве хотя бы один собственный вектор. |
характеристического многочлена |
λ |
оператора . Но |
λ0 − λ |
входит в λ |
в |
||||||||||||||||||||||||
Способ нахождения собственных векторов: 1) Строится характеристический |
степени : λ0 |
− λ , следовательно, |
|
≥ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
многочлен оператора , и находятся его корни. Те корни, которые принадлежат |
Теорема |
4.2 |
Сумма |
собственных |
подпространств |
оператора, |
отвечающих |
|||||||||||||||||||||||
различным собственным значениям, является прямой суммой. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
полю , будут собственными значениями оператора ( − 0 ). Они будут |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пусть сумма λ + λ + + λ |
- не прямая. Тогда существует два разложения |
|||||||||||||||||||||||||||||
собственными векторами, отвечающими 0. Если |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ( , , … )-базис в то для нахождения собственных векторов в базисе |
элемента : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 2 |
|
|
|
|
|
|
= + + + , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
имеем ОСЛАУ: − |
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
1 |
2 |
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
↓ |
|
↓ |
= ′ + ′ + + ′, ′ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
= |
− ′ + |
|
− ′ |
+ + |
|
− |
′ |
,где |
− ′ |
|
- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
собственный вектор, отвечающий собственному значению λ собственные |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
векторы, отвечающие различным собственным значениям линейно зависимы |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
противоречие существует единственное представление элемента |
сумма |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
прямая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 1.6 Диагонализуемость линейного оператора. Критерий диагонализуемости. |
|
Билет 1.6 Диагонализуемость линейного оператора. Критерий диагонализуемости. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Матричная формулировка операторных свойств. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матричная формулировка операторных свойств. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Определение 5.1 Линейный оператор |
называется оператором простой |
Теорема 5.3 Линейный оператор, действующий в комплексном пространстве, имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
структуры, если в ЛП существует базис из собственных векторов оператора . |
|
|
простую структуру когда для любого собственного значения геометрическая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 5.1 Линейный |
оператор |
|
|
имеет |
простую |
структуру |
|
|
|
кратность совпадает с алгебраической кратностью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
существует базис, в котором он имеет диагональную матрицу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть λ1, λ2, … , λ (λ |
≠ λ ≠ ) - различные собственные значения |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
dim = . |
|
Линейный |
оператор |
простой структуры |
существует |
|
базис |
|
|
из |
λ |
|
→ , |
= 1, – алгебраическая и геометрическая кратность. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
… |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« » Если алгебраическая кратность совпадает с геометрической ( = ) , то |
||||||||||||||||||||||
собственных векторов , , … , |
|
= |
|
|
|
|
, где = λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dim |
= + + + = = dim |
(В |
- |
мерном |
комплексном |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
… |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следствие. В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространстве существует собственных значений, |
если |
любой корень |
считать |
|||||||||||||||||||||
-мерном пространстве линейный оператор, имеющий различных |
столько раз, какова его кратность). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
собственных значений, является оператором простой структуры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« »0 < dim |
= ≤ , = 1, . Но равенство |
dim = |
|
dim |
|
возможно |
||||||||||||||||||||||||||||
Оператор простой структуры называют также диагонализуемым оператором. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
=1 |
|
λ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Теорема |
5.2 |
|
Линейный |
оператор |
- |
диагонализуемый |
|
|
все |
|
его |
только при условии = , = 1, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
собственные подпространства в прямой сумме дают все ЛП , |
т.е. |
|
Замечание. (матричная формулировка операторных свойств) Пусть × . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
… λ = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
λ |
|
|
|
1) |
Ненулевой вектор-столбец ↓ называется собственным |
вектором |
|
матрицы |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ↓ ≠ ↓), если существует λ : ↓ = λ ↓, λ - собственное значение матрицы. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
« » Пусть |
- диагонализуемый существует базис из собственных |
2) |
называется матрицей простой структуры (диагонализуемой), если она имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторов , , … , |
. Рассмотрим подпространство |
+ |
+ + |
|
. С |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
линейно независимых собственных векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
λ2 |
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
другой стороны, любой из |
, , … , |
принадлежит некоторому из |
|
|
3) |
Критерий 5.4 |
(матричная формулировка критерия 5.1) Квадратная |
матрица |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
λ1 + λ2 |
+ + λ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является матрицей простой структуры она эквивалентна диагональной. |
|
|
|
||||||||||||||||||
=1 λ (прямая). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
« » Из критерия прямой суммы и линейной независимости собственных векторов, |
|
|
|
В |
комплексном |
пространстве не каждый линейный |
оператор |
|
обладает |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
необходимым для базиса числом линейно независимых собственных векторов. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отвечающих |
различным |
собственным |
значениям: |
, , … , |
- базис |
|
в |
|
|
- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
совокупность базисов – базис в . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Замечание. Условие λ |
λ |
… λ |
|
= может быть заменено условием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dim = |
dim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
=1 |
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

Билет 1.7 Треугольная форма матрицы линейного оператора, действующего в |
Билет 1.8 Нильпотентный оператор. Его свойства. Разложение вырожденного и не |
комплексном пространстве. |
нильпотентного оператора в прямую сумму нильпотентного и обратимого |
|
оператора(схема доказательства). |
Теорема 6.1 В –мерном комплексном линейном пространстве для любого |
Определение 7.1 Л.о. |
|
|
|
называется нильпотентным, |
если |
существует |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
линейного |
оператора |
|
существует |
система вложенных друг в |
такое , |
что = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
друга инвариантных подпространств всех размерностей от 1 до , таких , что |
Наименьшее число , обладающее этим свойством, называется индексом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
= , |
где dim |
|
= , = 1, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нильпотентности (высотой оператора ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(по индукции) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично определяется нильпотентная матрица × и ее индекс. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= 1 - очевидно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 7.1 Если |
- нильпотентный оператор индекса и 0 - вектор, |
||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть утверждение верно для ЛП размерности − 1 . Докажем для ЛП : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для |
которого −1 |
|
|
≠ , |
то |
векторы |
, , 2 , … −1 |
- |
линейно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dim = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
независимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Лемма. Линейный оператор, действующий в −мерном комплексном пространстве, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим α |
+ α |
|
|
|
+ α 2 |
+ … + α |
−1 |
−1 |
= . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
обладает инвариантным подпространством размерности − 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
0 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ЛП : dim = , |
Применим последовательно операторы −1, −2, …, |
2, : |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство леммы. Линейный оператор, действующий в |
|
α −1 |
|
= α |
= 0; α −1 |
= α |
|
= 0 ; … α |
|
−1 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет |
собственное значение |
λ. |
Пусть |
- собственный |
вектор, |
отвечающий |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
−2 |
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||
α |
= 0 α |
−1 |
= α |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
собственному |
|
|
|
значению |
|
|
|
|
|
|
λ, |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие 1. Индекс нильпотентности не превосходит размерности пространства. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ker − λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 7.2 |
В комплексном пространстве линейный оператор нильпотентен |
||||||||||||||||||||||||||||||
так как существует хотя бы один собственный вектор dim im − λ |
|
|
≤ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
когда все его собственные значения равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− 1 |
существует ЛПП : dim = − 1, которое содержит |
im |
− λ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
« » – нильпотентный |
индекса , λ - собственное значение, отвечающее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Покажем, что |
инвариантно относительно л.о. |
− λ : → |
− λ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
im |
− λ |
. Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
собственному вектору |
|
|
: |
|
= λ 2 = λ2 = λ = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ = 0 , т.к. ≠ (собственный вектор). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Итак, |
л.о. |
, |
|
действующий в |
(dim = ) |
|
имеет |
инвариантное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
« » |
Рассмотрим базис пространства , |
в котором оператор |
имеет верхнюю |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подпространство −1 размерности |
− 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
треугольную матрицу (См. замечание к Т6.2), главная диагональ которой состоит из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Индуцированный оператор | −1 |
действует в пространстве размерностью |
|
|
− 1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
нулей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
и, |
следовательно |
согласно |
предположению |
индукции |
существует |
|
система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
12 |
|
13 |
|
… |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
вложенных подпространств 1 |
2 |
−1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
23 |
|
… |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Так как действия операторов и |
| −1 на −1 совпадают, то |
1, 2, … , −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= = . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
инвариантны относительно . Следовательно, 1 |
2 −1 = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема 6.2 Для любого л.о. , действующего в комплексном ЛП, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
существует |
базис, |
в |
котором |
матрица |
линейного |
|
оператора |
|
|
имеет |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
… |
|
… |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Замечание. |
Необходимость |
|
утверждения |
имеет |
место |
и |
в |
вещественном |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
треугольную форму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространстве. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из Т6.1 для л.о. существует система |
|
|
|
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
Определение 7.2 |
|
Если = 1 |
2 |
|
… |
- прямая сумма подпространств |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Строим искомый базис: - базис в ; - дополнение |
|
до базиса |
2 |
; … |
1, 2, … , , инвариантных |
относительно , |
|
то оператор |
|
называется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
дополнение |
|
до |
…. В силу инвариантности |
|
|
|
= 1, |
|
|
|
|
|
прямой суммой индуцированных операторов | 1, | 2, … , | . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
имеет верхнюю треугольную форму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Замечание. На главной диагонали |
|
стоят |
собственные |
|
значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
оператора . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема 6.3 Любая квадратная комплексная матрица эквивалентна матрице, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
имеющей треугольную форму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 1.8 Нильпотентный оператор. Его свойства. Разложение вырожденного и не |
|
|
Билет 1.9 Корневые векторы и их простейшие свойства. Корневые подпространства. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нильпотентного оператора в прямую сумму нильпотентного и обратимого |
|
|
|
|
Структура корневого подпространства. Теорема о расщеплении линейного |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оператора(схема доказательства). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператора. Следования из теоремы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Теорема 7.3 Вырожденный и не нильпотентный л.о. |
|
является прямой |
|
Определение |
8.1 Пусть λ - собственное значение |
оператора . Вектор |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
суммой нильпотентного и обратимого оператора, причем это разложение |
|
называется корневым вектором оператора , отвечающим собственному значению λ , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
единственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
− λ |
|
= при |
некотором |
, ≥ 0. |
Высотой корневого |
|
|
вектора |
|||||||||||||||||||||||||
Надо доказать, что существует единственная пара 1 |
и 2 ( = 1 2): | 1 - |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
называется наименьшее , обладающее указанным свойством. Высота и только |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нильпотентный оператор, | 2 - обратимый оператор. |
|
|
|
|
|
|
|
равна 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Доказательство существования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Простейшие свойства корневых векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Единственность. Пусть существует другое разложение: = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1. Корневые векторы высоты 1 являются собственными векторами: − λ |
= . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. | – нильпотентный = , при некотором . Следовательно, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. Если - |
корневой вектор высоты > 0, то вектор |
− λ - |
корневой высоты |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dim ≤ dim . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. | – |
обратим |
|
im |
| =T |
|
: = 1, 1 = 1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3. Корневые векторы различных высот линейно независимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
= = |
|
dim ≤ dim . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Если - |
корневой вектор высоты > 0, |
то: |
1) |
, |
− λ , − λ |
|
, … |
− |
||||||||||||||||||||||
Но dim + dim = dim = dim |
+ dim = , = . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
λ −1 |
- |
линейно независимы; |
2) |
высота |
корневого |
вектора |
не превосходит |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Следствие |
2. |
Оператор |
на |
подпространстве |
имеет |
только |
нулевые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
размерности пространства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
собственные значения, а на не имеет нулевых собственных значений. |
|
|
|
|
Определение 8.2 Корневые векторы высоты |
> 1 называются |
присоединенными |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Следствие 3. Для оператора , действующего в комплексном пространстве с |
|
векторами ( − 1)-го порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
характеристическим многочленом λ |
= det − λ |
= |
−λ 1 |
λ − λ 2 |
… λ |
|
− |
|
Определение |
8.3 Множество всех |
корневых |
векторов |
оператора |
, отвечающих |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
собственному |
значению |
λ , |
называется |
корневым |
подпространством оператора |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) характеристические многочлены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отвечающим |
собственному |
значению λ : |
λ |
= |
| , ≥ 0: − λ |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
λ |
= |
−λ 1 |
– оператора | ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
= |
λ |
2 |
− λ |
2 … λ |
|
− λ – оператора | . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опишем структуру корневого подпространства . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
б) |
dim |
= ,dim = |
+ + |
|
(размерность |
пространства совпадает |
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Сдвиг оператора . Рассмотрим = − λ (выполним сдвиг оператора на λ ). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
степенью характеристического многочлена). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Лемма 1. Собственные значения операторов и связаны соотношением: λ = λ − |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− λ - |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма |
|
|
2. |
|
|
Если |
|
|
λ |
= λ − λ |
1 |
λ − λ 2 … |
λ − λ … |
λ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристический многочлен , |
то |
λ = λ − λ |
1 λ |
− λ 2 |
… −λ |
… λ |
|
− |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- характеристический многочлен . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма 3. Если подпространство инвариантно относительно оператора , то оно |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инвариантно и относительно оператора . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если , |
т.е. = = − λ = + λ . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Разложение оператора в прямую сумму нильпотентного и обратимого операторов. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из λ |
следует, |
что - вырожденный оператор (имеет нулевое собственное |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение), но не нильпотентный (т.к. имеет ненулевое собственное значение). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
= ker , |
|
= im , |
то |
|
|
= |
= , |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; , |
- |
инвариантны относительно и оператор | - |
нильпотентный, |
| |
|
|
|
- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обратимый. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 1.9 Корневые векторы и их простейшие свойства. Корневые подпространства. |
Билет 1.10. Канонический базис корневого подпространства. Построение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Структура корневого подпространства. Теорема о расщеплении линейного |
|
|
|
|
|
|
|
|
жордановой цепочки. Матрица индуцированного оператора в каноническом базисе. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оператора. Следования из теоремы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3) Структура корневого подпространства. Рассмотрим |
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
- корневое подпространство , отвечающее собственному значению λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) 1 |
– |
состоит из корневых векторов высоты ≤ 1, т.е. совпадает с собственным |
= − λ (сдвиг оператора) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подпространством: |
= |
|
dim = – геометрическая кратность λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ker |
|
, |
|
= dim |
, |
= rang |
|
|
= dim im |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
λ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) – состоит из корневых векторов высоты ≤ 2, |
… – состоит из корневых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Построим корневое подпространство |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
векторов высоты ≤ , |
(всех высот) |
- максимальная высота корневого вектора, |
Надо найти то |
|
, начиная с которого |
|
|
= |
|
, при этом: |
|
= < |
2 |
< < |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отвечающего собственному значению λ , |
и |
= |
, следовательно, |
цепочка имеет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, |
= = dim |
; = |
|
алгебраическая |
|
кратность |
|
λ = dim |
|
|
|
( |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вид |
|
|
= |
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
λ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
λ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) λ |
- инвариантно относительно (т.к. инвариантно относительно (лемма 3); |
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Строим базис |
, |
|
последовательно просматривая подпространства , |
|
|
|
, … , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− λ 1 |
|
− λ 2 … |
λ − λ … |
|
|
|
− λ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
λ |
= λ |
λ |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
то |
(в обратном порядке). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
характеристический многочлен | |
|
имеет вид |
λ |
= |
λ − λ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
До : , , … , |
|
|
- векторы, дополняющие базис |
|
|
|
|
до : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) dim |
|
= (следствие 3 Т7.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) , , … , |
– корневые, высоты , т.к. − λ |
|
|
|
= ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Замечание. |
|
Из |
|
цепочки |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
следует, |
|
|
что |
|
|
2) количество |
= |
|
− |
−1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
максимальная |
|
высота |
корневых |
подпространств, |
|
отвечающих |
собственному |
|
|
3) |
|
|
|
|
|
= |
|
− |
−1 |
= |
|
− |
−1 |
− |
+1 |
− |
|
|
|
= − |
+1 |
+ 2 |
|
− |
−1 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значению λ , совпадает с индексом нильпотентности оператора − λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
т.к. +1 = ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 8.1 (о расщеплении линейного оператора) Если - линейный оператор, |
|
|
4) никакая линейная комбинация |
|
|
|
|
, , … , |
не принадлежит |
|
|
. Такие |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− λ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||
действующий в комплексном пространстве и λ |
= λ |
|
− λ |
|
|
|
λ |
… λ − |
векторы называются линейно независимыми над |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
λ |
|
|
… λ − λ |
|
|
- |
|
его |
характеристический |
|
многочлен |
|
|
λ ≠ λ , ≠ , |
|
|
то |
До |
|
|
|
: |
|
Построим |
|
, , … , |
|
- |
|
корневые, |
|
|
высоты |
|
|
|
− 1 |
|
|
, |
- линейно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространство разлагается в прямую сумму его корневых подпространств: |
= |
независимы над |
|
|
. Дополним эти векторы векторами , , … , |
|
|
|
|
|
|
|
|
так, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
λ1 |
|
λ2 |
… λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чтобы вектора , , … , |
, , , … , |
|
|
|
|
дополняли произвольный базис |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По индукции по . = 1 |
= λ1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до базиса |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
теорема верна для оператора, |
имеющего |
− 1 |
|
различных собственных |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1) они корневые высоты − 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значений. Докажем для . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
2) их количество −1 |
− −2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: = |
|
( = im − λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выделим |
|
корневое |
|
подпространство |
|
|
|
|
3) |
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
= − |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−2 |
|
−1 |
|
|
−1 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ; |
|
- инвариантно относительно − λ |
|
(лемма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Обозначим |
|
|
3) |
|
- |
|
|
4) они линейно независимы над |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
инвариантно относительно . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
До |
|
: |
Аналогично: |
2 , 2 , … , 2 |
, , , … , |
|
|
|
- |
корневые, |
высоты |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 λ = λ1 − λ 1 λ2 − λ 2 … λ − λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 = | 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
… λ−1 − λ |
|
− 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет |
− 1 |
|
различных собственных значений, следовательно, |
|
по индукции для |
Выполняя далее такие же построения в |
|
|
|
, … доходим до . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
него |
|
1 = λ |
1 |
λ |
2 |
… λ |
−1 |
= λ |
1 |
λ |
2 |
… λ |
−1 |
λ |
|
. |
|
|
|
|
До : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, −2 , −2 , … , −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Следствие 1. Ненулевые корневые векторы оператора, отвечающие различным |
−1 , −1 , … , −1 |
|
|
|
, … , , , … , |
|
, , |
2 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
собственным значениям, линейно независимы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- дополяют до базиса 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следствие 2. Для |
|
в комплексном пространстве, |
|
существует базис, |
|
в |
|
|
1) корневые высоты 1 – собственные; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
котом его матрица имеет квазидиагонаьную форму, у которой число диагональных |
|
|
2) их количество 1 = 1 − 0 |
|
0 = def 0 = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
клеток совпадает с числом различных собственных значений, а их размеры – с |
|
|
3) 1 |
= 1 |
− 0 |
− 2 |
− 1 |
|
= −2 + 2 1 − 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
алгебраической кратностью собственных значений, или, в матричной формулировке, |
|
|
4) они линейно независимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
любая квадратная комплексная матрица × эквивалентная квазидиагональной |
Полученную за шагов систему векторов удобно объединить в таблицу, которую |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрице, обладает указанными выше свойствами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будем называть жордановой лестницей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 1.10. Канонический базис корневого подпространства. Построение |
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 1.11. Жорданов базис и жорданова нормальная форма оператора |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
жордановой цепочки. Матрица индуцированного оператора в каноническом базисе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= − |
+1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение |
10.1 |
|
Жордановой |
матрицей (или матрицей, имеющей жорданову |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 − −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормальную форму) называется квазидиагональная матрица с клетками Жордана на |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, , … , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
главной |
диагонали. |
|
Жордановым |
базисом |
для |
|
|
называется |
|
базис |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространства , в котором матрица оператора |
имеет жорданову нормальную |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
форму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
+ 2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Канонический базис корневого подпространства λ является жордановым |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
, , … , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, , … , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для оператора | |
|
, а – его жордановой матрицей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 − −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Если - нильпотентный оператор ( все λ = 0) существует одно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = −2 + |
|
|
корневое подпространство можно найти жорданов базис. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 − 0 |
|
|
|
Решим задачу в общем виде. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 , −1 , … |
|
|
|
|
|
−2 , −2 , |
|
|
|
|
, |
2 |
, … , |
1 |
|
|
Теорема |
|
10.1 |
|
Пусть |
|
|
в |
комплексном |
пространстве |
|
, |
его |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
, −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… , −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристический |
|
|
многочлен |
имеет |
|
вид: |
λ |
= λ1 − λ |
1 |
λ2 |
− λ |
|
2 |
… λ − |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 1 − 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ … |
λ − λ , |
|
λ ≠ λ , ≠ |
. Тогда в ЛП существует базис , |
в котором |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема 9.1 Построенная система векторов образует базис корневого |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
матрица оператора имеет жорданову нормальную форму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
подпространства λ |
. а) количество векторов в системе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
2 − 1 |
|
+ + |
−1 |
− −2 |
+ |
− −1 |
= = dim λ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
… |
|
|
|
|
, где , = 1, |
имеют вид |
= |
| |
- |
матрицы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) система векторов линейно независима. |
От противного. |
Рассмотрим линейную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
комбинацию |
|
|
векторов |
|
|
|
и |
|
|
применим |
|
последовательно |
|
−1, −2, … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператора | λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
α −1 + |
α |
2 |
−1 |
+ + α |
|
|
−1 |
|
|
= , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
в каноническом базисе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно |
Т8.1 |
|
|
(о |
расщеплении |
линейного |
оператора): = |
λ1 |
λ2 |
|||||||||||||||||||||||
|
, , … , |
- |
корневые высоты |
|
, |
остальные |
слагаемые |
равны |
нулю, |
т.к. они |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… λ −1 |
λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
корневые векторы высоты < , следовательно, |
−1 |
α + α |
2 |
+ + α |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
качестве исходного |
базиса возьмем совокупность |
канонических базисов |
||||||||||||||||||||||||||
|
α + α |
+ + α |
|
|
|
= α |
= α |
|
= = α |
|
= 0, |
в |
силу |
|
линейной |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
корневых подпространств. Согласно Т1.2 матрица |
имеет вид , где |
|
- матрица |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 1 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
независимости , , … , . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператора |
| λ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Нумерация базиса: по столбцам жордановой клетки снизу вверх, сами столбцы в |
|
Замечание |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицы |
линейного |
оператора определена |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
произвольном порядке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Жорданова форма |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
однозначно с точностью до порядка клеток Жордана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Полученный |
таким |
образом базис |
называется каноническим |
|
(или жордановым) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Замечание 2. Для операторов простой структуры, |
и только для них, |
жорданова |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
базисом корневого подпространства λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
форма совпадает с диагональной: λ |
= λ , = 1, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведение матрицы к жордановой форме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.10.1 любая квадратичная комплексная матрица эквивалентна матрице, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеющей жорданову форму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 10.2 Жорданова матрица, эквивалентная матрице , называется |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жордановой нормальной формой матрицы . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 10.2 Две матрицы , × |
эквивалентны их жордановы формы |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совпадают. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Привести |
к жордановой нормальной форме значит найти невырожденную матрицу |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и жорданову форму |
такие, |
что |
−1 = , |
где |
- матрица перехода от |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исходного базиса к жорданову. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 1.12. Многочлен от линейного оператора. Теорема Гамильтона – Кэли |
Билет 1.12. Многочлен от линейного оператора. Теорема Гамильтона – Кэли |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть - ЛП над , . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 11.3 (теорема Гамильтона – Кэли) Линейный оператор , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим |
|
= |
|
+ + + |
, , . |
|
|
|
|
действующий в |
комплексном |
или вещественном пространстве, |
является корнем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
= + + + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определение 11.1 Линейный оператор |
называется |
своего характеристического многочлена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… λ |
|
|
− λ - |
||||
многочленом от оператора или операторным многочленом. |
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
λ = λ − λ |
1 |
λ |
− λ 2 … λ |
|
− λ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 11.1 Пусть , 1 |
- операторные многочлены, тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
характеристический многочлен ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
∙ 1 |
|
= 1 ∙ |
|
(в частности: ∙ = ∙ ) |
|
= λ − |
1 |
λ |
2 |
− 2 |
… |
λ − |
|
|
… |
λ |
|
− |
- оператор; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
im ,ker |
- подпространства, |
инвариантные относительно . |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1) |
= = , . |
|
|
|
|
= |
λ − 1 |
λ − |
2 … |
λ − … |
λ |
|
− |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) im |
|
: = = |
= |
|
∙ ; |
Надо доказать, что |
|
= - нулевой оператор. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
im ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Докажем для комплексного пространства , |
: = λ |
λ |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ker = , |
= |
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
… λ |
λ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ker . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: = |
|
+ |
2 |
+ + , где |
|
, = 1, , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Теорема 11.2 |
- |
некоторый многочлен степени , λ0 - собственное значение |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
|
+ |
+ + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, |
0 - собственный вектор, отвечающий собственному значению λ0. Тогда |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
операторе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 - собственный вектор |
оператора , отвечающий собственному значению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= λ1 − 1 |
λ2 − 2 |
… |
λ − |
… |
λ − |
|
|
|
перестановочны |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
λ |
0 |
, причем |
|
ker |
, если λ |
0 |
= 0; im , если λ |
0 |
≠ 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= + + + ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Т11.1), а |
λ − |
|
= = , |
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= + λ |
|
+ + λ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) - вещественное пространство, - любой базис (какой-нибудь) |
пространства . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если λ0 |
= 0 |
0 = 0 |
ker . |
|
|
|
|
|
- матрица оператора. |
- любое комплексное пространство: dim = dim , - |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Если λ |
0 |
≠ 0 |
|
|
= |
= |
|
|
|
im . |
|
|
базис |
. |
Тогда |
|
|
- |
матрица некоторого |
|
оператора |
|
|
: = |
|
|
|
их |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
λ0 |
|
|
|
|
λ0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многочлены совпадают и |
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Замечание (матричная формулировка операторных свойств). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Определение 11.1′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 11.2 Многочлен ( ) называется аннулирующим многочленом для , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= + + + - многочлен от матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
= . Аналогично для матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Теорема 11.1′ ∙ 1 |
|
= 1 |
∙ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Из теоремы ГамильтонаКэли следует, что существует аннулирующий |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многочлен степени . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 11.3 Многочлен ( ) наименьшей степени со старшим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициентом |
|
единица, |
аннулирующий |
|
|
|
, |
|
|
называется |
|
минимальным |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многочленом для . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Минимальный |
|
многочлен определен однозначно: 1 |
|
− 2( ) |
|
- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аннулирующий и имеет строго меньшую степень 1 − 2 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 11.4 Минимальный многочлен является делителем аннулирующего |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многочлена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
От противного: |
= |
+ ( ), где ( ) ≡ 0 или deg ( ) < deg ( ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − = − = − ( ) |
|
|
|
|
|
– |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
минимальный противоречие ( ) ≡ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. С помощью жордановой формы легко вычислить минимальный |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многочлен. Для |
|
|
λ |
|
|
→ |
− λ |
|
для |
|
|
λ |
→ |
− λ |
|
, |
|
– |
максимальный |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
размер жордановой клетки, отвечающий данному λ |
|
|
− λ |
|
1 |
|
− λ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет 1.13. Функции от матриц. Интерполяционный многочлен Лагранжа- |
|
|
|
|
|
Билет 1.14. Вещественный аналог жордановой формы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сильвестра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Одно из важных приложений жордановой формы – вычисление функции от |
Теорема 13.1 У всякого линейного оператора в комплексном пространстве |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матриц (от линейных операторов). В п.11 определили ( ) - многочлен от матрицы. |
существует одномерное инвариантное подпространство. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если привести к - жордановой форме, то |
= |
−1 |
|
|
= |
|
|
−1 |
, |
где |
|
- |
У , − над , существует хотя бы один собственный вектор , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вычисляется просто, а - не зависит от |
(зависит от ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) - одномерное подпространство, инвариантное относительно . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Как определить функцию от матрицы? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
13.2 |
|
У |
всякого л.о. |
, |
над |
|
(в |
вещественном |
|||||||||||||||||||||||||
Пусть λ1, λ2, … , λ - собственные значения (спектр матрицы λ1, λ2, … , λ – |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространстве) |
существует |
одномерное |
или |
двумерное |
инвариантное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
все вещественны). |
|
– максимальный размер жордановой клетки λ , = 1, . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
подпространство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Определение 12.1 Пусть ( ) - числовая функция. Говорят, что ( ) определена на |
- вещественное пространство; = |
, , … , |
- базис в . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
спектре матрицы , если существуют значения: λ |
, |
′ |
λ |
, … , |
−1 |
λ |
, = 1, , |
|
|
|
|
|
|
= × ( |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
→ |
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
которые называются значениями на спектре матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
= det − λ |
– многочлен с вещественными коэффициентами. Пусть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечание 1. Любой многочлен определен на спектре матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ0 - корень λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Определение 12.2 Пусть ( ) - функция, определенная на спектре матрицы . Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
( ) - многочлен, значения которого на спектре |
|
|
матрицы |
|
совпадают |
|
с |
1) |
λ0 , λ0- собственное значение → - собственный вектор, отвечающий |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответствующими значениями ( ). Положим по определению: ( ) ≡ ( ). |
|
|
|
|
с.з. λ0, ( ) - одномерное подпространство, инвариантное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( λ = λ , |
′ |
|
λ = |
′ |
λ |
, … , |
−1 |
λ |
= |
−1 |
λ ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
λ0 λ0 = α + β, β ≠ 0, λ0 |
= α − β |
|
|
- |
тоже |
корень |
||||||||||||||||||||||||||||
Существует |
|
много многочленов, |
совпадающих с |
|
данной |
функцией |
|
на |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
спектре матрицы. Среди них выделим так называемый интерполяционный |
|
характеристического |
уравнения. |
Рассмотрим |
как |
комплексную |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Если ↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
многочлен Лагранжа – Сильвестра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицу. |
- собственный вектор -столбец, отвечающий с.з. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Определение 12.3 Пусть ( ) определена на спектре матрицы . Многочлен ( ) |
|
λ0: ↓ = |
λ0 ↓, то ↓ = ↓: ↓ = λ0 ↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
степени меньшей, чем степень минимального многочлена матрицы , и |
Векторы |
↓ |
и |
|
|
↓ |
- линейно независимы, как собственные векторы, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
совпадающий на спектре матрицы с функцией |
|
|
( ), |
называется |
отвечающие различным собственным значениям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интерполяционным многочленом Лагранжа – Сильвестра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Обозначение: . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть = |
|
|
|
|
= |
+ |
= + , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Замечание 2. Можно показать, |
что для |
любой , |
определенной |
на |
спектре |
|
↓ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
↓ |
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
матрицы , интерполяционный многочлен |
|
существует и единственен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
↓+ ↓ |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= + |
|
|
= α + β + |
↓ = α↓ − β↓ , |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 … |
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
↓ |
↓ |
|
|
|
|
↓ |
|
↓ |
|
|
= β + α |
|
= |
↓− ↓ |
|
|
|||||||||||
Пусть ( ) определена на спектре матрицы , |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- жорданова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
↓ |
|
|
↓ |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ и ↓ - линейно независимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
форма этой матрицы: = ∙ ∙ −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В векторной форме будем иметь. Пусть = ↓, = ↓. Системе уравнений |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для ↓, ↓ соответствует система векторных уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Тогда = ∙ |
|
∙ −1, где |
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
… |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
= α − β, |
|
|
где , |
- |
одновременно не |
обращаются |
в |
(линейно |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= β + α |
|
|
|
|
|
( , ) |
- |
инвариантное |
подпространство, |
и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
независимы). Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dim ( , ) = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вещественный аналог жордановой формы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в вещественном |
пространстве (dim = ), |
|
= det − λ |
– |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многочлен с вещественными коэффициентами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|