Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

3 семестр экзамен / Algebra_1_razdel

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2014

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Билет 1.1. Инвариантные подпространства. Индуцированный оператор

Билет 1.2. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным

собственным значениям.

Определение 1.1 Линейное подпространство линейного пространства

- ЛП над .

называется инвариантным относительно оператора , если → .

Определение 2.1 Ненулевой вектор называется собственным вектором л.о.

Теорема 1.1 Пусть

и - нетривиальное инвариантное подпространство

, если λ : = λ .

относительно линейного оператора . Тогда существует базис ЛП, в котором

Число λ называется собственным значением оператора , соответствующим

линейный оператор имеет квазитреугольную форму:

собственному вектору . Множество всех собственных значений λ называется

(1.1)

спектром оператора .

Примеры. 1) - оператор дифференцирования:

. Любой многочлен

Пусть , , … - базис в

, дополним его до базиса в :

нулевой степени = 0 - собственный вектор с собственным значением λ = 0.

= , , … ,

, …

; – инвариантно относительно

2) - оператор проектирования: = 1

2 1; 1

→ 1

= 1

, , …

λ1 = 1; 2 2 → 2 = λ2 = 0.

+ +

Свойство 1. Если - собственный вектор, отвечающий собственному значению

λ α ≠ 0 α - собственный вектор, отвечающий собственному значению λ.

+ +

Следовательно, любой собственный вектор порождает целое одномерное

+ +

подпространство собственных векторов, из которых исключен нулевой вектор .

1, +1 1

2, +1 2

, +1

+1, +1

, +1

Свойство 2. Теорема 2.1 Собственные векторы , , …

оператора, отвечающие

+ +

различным собственным значениям λ1, λ2, … λ линейно независимы.

2, 2

1, +1

+1, +1

… 1

… 1,

По индукции. = 1 – очевидно, так как любой собственный вектор отличен от

нулевого.

…

, т.е. имеет квазитреугольную

Пусть верно для − 1 . Докажем для . Рассмотрим линейную комбинацию:

, +1

…

α + α + + α

+ α

(2.1)

+1, +1

+1,

1 1

2 2

−1 −1

…

(α + α

+ + α

+ α ) =

, +1

форму.

−1

α λ + α λ

+ + α

+ α

= .

(2.2)

Замечание 1. Верно и обратное утверждение: если в базисе

1 1 1

2 2

−1 −1 −1

= , , … ,

, …

имеет вид (1.1), то = , , …

Умножим (2.1) на λ и вычтем из (2.2):

инвариантное подпространство относительно оператора .

α (λ

− λ

)

+ α (λ

− λ

)

+ + α

(λ

− λ

)

= ,

(2.3)

Теорема 1.2 Если является прямой суммой нетривиальных подпространств

1 1

−1

− λ

≠ 0, = 1, ( − 1), т.к. λ , λ

, … λ

−1

- различны. Т.к. , , …

1, 2, … , инвариантных относительно линейного оператора , то в ЛП

1 2

−1

– линейно независимы, то равенство (2.3) возможно только при α = α

= =

существует базис, в котором матрица л.о. имеет квазидиагональную форму:

= 0. Тогда из (2.1) следует, что α

= .Отсюда или α

= 0, или

= . Но

…

−1

≠ , т.к. – собственный α

= 0. Итак, выполнение (2.1) возможно только в

…

: =

(1.2)

случае: α

= α

= = α

= α = 0, следовательно, , , … - линейно

−1

независимы.

…

Следствие. Линейный оператор, действующий в - мерном ЛП, не может иметь

Аналогично доказательству теоремы 1.1: базис = сумме базисов слагаемых

более чем различных собственных значений.

подпространств 1, 2, … .

Определение 2 Пусть – подпр-во, инвариант. относит.линейн. оператора

. Отображ. | : , определенное равенством

= , , назыв.

индуцированным оператором, порожден. оператором ,

или сужением оператора на подпр-во . | – линейный оператор:

| .

Билет 1.3 Характеристический многочлен, его инвариантность по отношению к

выбору базиса ЛП. Характеристический многочлен индуцированного оператора.

Определение 3.1 Характеристическим многочленом матрицы

Теорема 3.3 Характеристический многочлен индуцированного оператора является

называется функция

делителем характеристического многочлена порождающего оператора.

= det − λ , λ .

(3.1)

Теорема

3.4

Если

= 1

2 … -

прямая

сумма

подпространств,

Теорема 3.1 Характеристический многочлен

(3.1) матрицы × является

инвариантных

относительно

оператора

то

характеристический

многочленом -ой степени от переменной λ .

многочлен λ

оператора равен произведению характеристических многочленов

− λ

…

λ ,

λ , …

индуцированных операторов

, … |

× , =

− λ

…

2 .

λ λ … λ .

Теорема 3.5 ЛП над . Число λ является собственным значением оператора

…

− λ

λ - корень его характеристического многочлена.

Любой элемент матрицы − λ есть многочлен степени λ не выше 1 любой член

λ - собственное значение,

отвечающее

собственному

вектору л.о.

det − λ

есть

многочлен

от

степени

не выше

. Следовательно, λ

= λ

− λ =

ker − λ

многочлен

от

степени

не

выше

≠

при некотором

λ при

det − λ

−1 σ α1

, 2,…α

…

≠

α= α1, 2,…α

1α1

2α2

некотором λ →

− λ

является

вырожденным

оператором

не

Все

члены,

отличные

от

− λ

…

− λ , имеют

степень,

не

существует обратного оператора

− λ det − λ

= 0 при некотором λ

превосходящую

− 2

. Следовательно, в

слагаемые, содержащие λ−1

и λ ,

определяются только членом

λ - корень характеристического многочлена

Определение 3.3

Уравнение

det − λ

= 0

называется

характеристическим

− λ

− λ … − λ =

−1 λ

−λ −1

λ ,

уравнением для оператора

. Корни характеристического уравнения называются

+ +

−2

характеристическими числами оператора.

где

- многочлен степени − 2 (согласно формулам Виета). Следовательно,

−2

λ +

−λ −1 + +

Собственными значениями оператора являются характеристические числа из

- многочлен степени

от

λ: λ

= −1

−λ

основного поля, и только они.

где

= tr ,

= 0

= det .

−1

Итак, вопрос о существовании собственных векторов сводится к вопросу о

−1

Теорема 3.2 Все матрицы одного и того же линейного оператора имеют одинаковые

существовании

корней

характеристического

многочлена,

принадлежащих

характеристические многочлены.

основному полю. Известно, что не во всяком поле многочлены имеют корни. В поле

- матрицы

линейного оператора

в различных базисах и

комплексных чисел любой многочлен -ой степени имеет ровно

корней, если

эквивалентны существует невырожденная матрица

(см. формулу

любой корень считать столько раз, какова его кратность.

= −1 .

преобразования

матрицы

л.о.

разных

базисах):

Следовательно,

Теорема 3.6 Произвольный оператор, действующий в комплексном пространстве

− λ

= −1 − λ

= −1 − −1λ

= −1( − λ ) =

(dim = ) имеет:

−1

− λ = − λ .

1) собственных значений, если любое собственное значение считать столько раз,

Итак, характеристический многочлен матрицы линейного оператора не

какова его кратность как кратность характеристического многочлена;

зависит от базиса, а определяется самим оператором.

2) хотя бы один собственный вектор;

Определение 3.2 Характеристическим многочленом оператора

3) на любом своем инвариантном подпространстве хотя бы один собственный

называется функция λ

= det − λ , λ .

вектор.

Замечание. Напомним: определителем линейного оператора называется

определитель матрицы этого оператора в произвольном базисе: det = det

Таким образом, характеристический многочлен оператора

совпадает с

характеристическим многочленом матрицы этого оператора в произвольном базисе.

След матрицы

линейного оператора

не зависит от базиса. Следовательно,

можно ввести понятие следа оператора:

tr = tr .

Билет 1.4. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного

Билет 1.5 Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая

оператора

кратность собственного значения

Теорема 1 ЛП над . Число является собственным

λ0 - собственное значение оператора .

значением оператора

– корень его характеристического многочлена.

Определение

4.1 Множество λ =

| = λ0

называется

собственным

– собствен. значение, отвечающее собствен. вектору

подпространством оператора , отвечающим собственному значению λ0.

Замечание.

λ = ker − λ0

(ЛПП

ЛП

)

–

инвариантно

л.о.

≠

− = , ≠ ,

относительно .

Определение 4.2 Размерность λ0

называется геометрической кратностью

Ker ( − ), ≠ при некотором при некотором → ( −

) явл. вырожден. оператором

собственного значения λ0, а кратность λ0

как

корня характеристического

не существ. обратного оператора − det − = 0 при

многочлена – его алгебраической кратностью.

Теорема 4.1 Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его

некотором - корень характеристического многочлена.

алгебраической кратности.

Определение1 Уравнение det − = 0 называется

λ0 - собственное значение л.о. ;

- алгебраическая кратность,

характеристическим уравнением для оператора . Корни характеристич-го

уравнения назыв. характеристическими

геометрическая

кратность

= dim λ0 .

λ0

–

собственное

подпространство,

числами оператора. Собственными значениями оператора являются только

инвариантное

относительно .

Рассмотрим индуцированный оператор | λ0 .

характеристич. числа из основного поля.

Найдем его характеристический многочлен

. Пусть , , … -

базис в

…

λ0

Теорема2 Произвольный оператор, действующий в комплексном

λ0

пространстве (dim = )имеет:

Тогда матрица оператора |

в базисе , , …

имеет вид:

1) собственных значений, если любое собственное значение считать столько раз,

λ0

…

λ0

×. Следовательно,

λ0 − λ .

какова его кратность как кратность характеристического многочлена;

λ =

Согласно

Т3.3

характеристический

2) хотя бы один собственный вектор;

многочлен

1 λ

индуцированного

оператора

является

делителем

3) на любом своем инвариантном подпр-ве хотя бы один собственный вектор.

характеристического многочлена

оператора . Но

λ0 − λ

входит в λ

Способ нахождения собственных векторов: 1) Строится характеристический

степени : λ0

− λ , следовательно,

≥ .

многочлен оператора , и находятся его корни. Те корни, которые принадлежат

Теорема

4.2

Сумма

собственных

подпространств

оператора,

отвечающих

различным собственным значениям, является прямой суммой.

полю , будут собственными значениями оператора ( − 0 ). Они будут

Пусть сумма λ + λ + + λ

- не прямая. Тогда существует два разложения

собственными векторами, отвечающими 0. Если

= ( , , … )-базис в то для нахождения собственных векторов в базисе

элемента :

1 2

= + + + ,

имеем ОСЛАУ: −

= .

↓

= ′ + ′ + + ′, ′

Следовательно,

− ′ +

− ′

+ +

−

′

,где

− ′

собственный вектор, отвечающий собственному значению λ собственные

векторы, отвечающие различным собственным значениям линейно зависимы

противоречие существует единственное представление элемента

сумма

прямая.

Билет 1.6 Диагонализуемость линейного оператора. Критерий диагонализуемости.

Матричная формулировка операторных свойств.

Определение 5.1 Линейный оператор

называется оператором простой

Теорема 5.3 Линейный оператор, действующий в комплексном пространстве, имеет

структуры, если в ЛП существует базис из собственных векторов оператора .

простую структуру когда для любого собственного значения геометрическая

Теорема 5.1 Линейный

оператор

имеет

простую

структуру

кратность совпадает с алгебраической кратностью.

существует базис, в котором он имеет диагональную матрицу.

Пусть λ1, λ2, … , λ (λ

≠ λ ≠ ) - различные собственные значения

dim = .

Линейный

оператор

простой структуры

существует

базис

из

→ ,

= 1, – алгебраическая и геометрическая кратность.

λ1

…

« » Если алгебраическая кратность совпадает с геометрической ( = ) , то

собственных векторов , , … ,

, где = λ .

dim

= + + + = = dim

(В

мерном

комплексном

…

Следствие. В

пространстве существует собственных значений,

если

любой корень

считать

-мерном пространстве линейный оператор, имеющий различных

столько раз, какова его кратность).

собственных значений, является оператором простой структуры.

« »0 < dim

= ≤ , = 1, . Но равенство

dim =

dim

возможно

Оператор простой структуры называют также диагонализуемым оператором.

Теорема

5.2

Линейный

оператор

диагонализуемый

все

его

только при условии = , = 1, .

собственные подпространства в прямой сумме дают все ЛП ,

т.е.

Замечание. (матричная формулировка операторных свойств) Пусть × .

… λ = .

Ненулевой вектор-столбец ↓ называется собственным

вектором

матрицы

( ↓ ≠ ↓), если существует λ : ↓ = λ ↓, λ - собственное значение матрицы.

« » Пусть

- диагонализуемый существует базис из собственных

называется матрицей простой структуры (диагонализуемой), если она имеет

векторов , , … ,

. Рассмотрим подпространство

+ +

. С

линейно независимых собственных векторов.

λ1

λ2

другой стороны, любой из

, , … ,

принадлежит некоторому из

Критерий 5.4

(матричная формулировка критерия 5.1) Квадратная

матрица

λ1 + λ2

+ + λ

является матрицей простой структуры она эквивалентна диагональной.

=1 λ (прямая).

« » Из критерия прямой суммы и линейной независимости собственных векторов,

комплексном

пространстве не каждый линейный

оператор

обладает

необходимым для базиса числом линейно независимых собственных векторов.

отвечающих

различным

собственным

значениям:

, , … ,

- базис

совокупность базисов – базис в .

Замечание. Условие λ

… λ

= может быть заменено условием

dim =

dim

Билет 1.7 Треугольная форма матрицы линейного оператора, действующего в	Билет 1.8 Нильпотентный оператор. Его свойства. Разложение вырожденного и не
комплексном пространстве.	нильпотентного оператора в прямую сумму нильпотентного и обратимого
	оператора(схема доказательства).

Теорема 6.1 В –мерном комплексном линейном пространстве для любого

Определение 7.1 Л.о.

называется нильпотентным,

если

существует

линейного

оператора

существует

система вложенных друг в

такое ,

что = .

друга инвариантных подпространств всех размерностей от 1 до , таких , что

Наименьшее число , обладающее этим свойством, называется индексом

= ,

где dim

= , = 1, .

нильпотентности (высотой оператора ).

≥ 2.

(по индукции)

Аналогично определяется нильпотентная матрица × и ее индекс.

= 1 - очевидно.

Теорема 7.1 Если

- нильпотентный оператор индекса и 0 - вектор,

Пусть утверждение верно для ЛП размерности − 1 . Докажем для ЛП :

для

которого −1

≠ ,

то

векторы

, , 2 , … −1

линейно

dim = .

независимы.

Лемма. Линейный оператор, действующий в −мерном комплексном пространстве,

Рассмотрим α

+ α

+ α 2

+ … + α

−1

= .

обладает инвариантным подпространством размерности − 1 .

ЛП : dim = ,

Применим последовательно операторы −1, −2, …,

2, :

Доказательство леммы. Линейный оператор, действующий в

α −1

= α

= 0; α −1

= α

= 0 ; … α

−1

имеет

собственное значение

λ.

Пусть

- собственный

вектор,

отвечающий

−2

= 0 α

−1

= α

= 0.

собственному

значению

λ,

−2

−1

Следствие 1. Индекс нильпотентности не превосходит размерности пространства.

ker − λ

Теорема 7.2

В комплексном пространстве линейный оператор нильпотентен

так как существует хотя бы один собственный вектор dim im − λ

≤

когда все его собственные значения равны нулю.

− 1

существует ЛПП : dim = − 1, которое содержит

− λ

« » – нильпотентный

индекса , λ - собственное значение, отвечающее

Покажем, что

инвариантно относительно л.о.

− λ : →

− λ

. Лемма доказана.

собственному вектору

= λ 2 = λ2 = λ =

λ = 0 , т.к. ≠ (собственный вектор).

Итак,

л.о.

действующий в

(dim = )

имеет

инвариантное

« »

Рассмотрим базис пространства ,

в котором оператор

имеет верхнюю

подпространство −1 размерности

− 1 .

треугольную матрицу (См. замечание к Т6.2), главная диагональ которой состоит из

Индуцированный оператор | −1

действует в пространстве размерностью

− 1 ,

нулей:

и,

следовательно

согласно

предположению

индукции

существует

система

…

вложенных подпространств 1

−1.

…

Так как действия операторов и

| −1 на −1 совпадают, то

1, 2, … , −1

= = .

инвариантны относительно . Следовательно, 1

2 −1 = .

Теорема 6.2 Для любого л.о. , действующего в комплексном ЛП,

−1,

существует

базис,

котором

матрица

линейного

оператора

имеет

…

Замечание.

Необходимость

утверждения

имеет

место

вещественном

треугольную форму.

пространстве.

Из Т6.1 для л.о. существует система

= .

Определение 7.2

Если = 1

…

- прямая сумма подпространств

−1

Строим искомый базис: - базис в ; - дополнение

до базиса

; …

1, 2, … , , инвариантных

относительно ,

то оператор

называется

дополнение

до

…. В силу инвариантности

= 1,

прямой суммой индуцированных операторов | 1, | 2, … , | .

−1

имеет верхнюю треугольную форму.

Замечание. На главной диагонали

стоят

собственные

значения

оператора .

Теорема 6.3 Любая квадратная комплексная матрица эквивалентна матрице,

имеющей треугольную форму.

Билет 1.8 Нильпотентный оператор. Его свойства. Разложение вырожденного и не

Билет 1.9 Корневые векторы и их простейшие свойства. Корневые подпространства.

нильпотентного оператора в прямую сумму нильпотентного и обратимого

Структура корневого подпространства. Теорема о расщеплении линейного

оператора(схема доказательства).

оператора. Следования из теоремы.

Теорема 7.3 Вырожденный и не нильпотентный л.о.

является прямой

Определение

8.1 Пусть λ - собственное значение

оператора . Вектор

суммой нильпотентного и обратимого оператора, причем это разложение

называется корневым вектором оператора , отвечающим собственному значению λ ,

единственно.

если

− λ

= при

некотором

, ≥ 0.

Высотой корневого

вектора

Надо доказать, что существует единственная пара 1

и 2 ( = 1 2): | 1 -

называется наименьшее , обладающее указанным свойством. Высота и только

нильпотентный оператор, | 2 - обратимый оператор.

равна 0.

Доказательство существования.

Простейшие свойства корневых векторов.

Единственность. Пусть существует другое разложение: = .

1. Корневые векторы высоты 1 являются собственными векторами: − λ

= .

1. | – нильпотентный = , при некотором . Следовательно,

2. Если -

корневой вектор высоты > 0, то вектор

− λ -

корневой высоты

dim ≤ dim .

− 1 .

2. | –

обратим

| =T

: = 1, 1 = 1 =

3. Корневые векторы различных высот линейно независимы.

= =

dim ≤ dim .

4.Если -

корневой вектор высоты > 0,

то:

− λ , − λ

, …

−

Но dim + dim = dim = dim

+ dim = , = .

λ −1

линейно независимы;

высота

корневого

вектора

не превосходит

Следствие

Оператор

на

подпространстве

имеет

только

нулевые

размерности пространства.

собственные значения, а на не имеет нулевых собственных значений.

Определение 8.2 Корневые векторы высоты

> 1 называются

присоединенными

Следствие 3. Для оператора , действующего в комплексном пространстве с

векторами ( − 1)-го порядка.

характеристическим многочленом λ

= det − λ

−λ 1

λ − λ 2

… λ

−

Определение

8.3 Множество всех

корневых

векторов

оператора

, отвечающих

собственному

значению

λ ,

называется

корневым

подпространством оператора

а) характеристические многочлены

отвечающим

собственному

значению λ :

| , ≥ 0: − λ

−λ 1

– оператора | ;

− λ

2 … λ

− λ – оператора | .

Опишем структуру корневого подпространства .

б)

dim

= ,dim =

+ +

(размерность

пространства совпадает

со

1) Сдвиг оператора . Рассмотрим = − λ (выполним сдвиг оператора на λ ).

степенью характеристического многочлена).

Лемма 1. Собственные значения операторов и связаны соотношением: λ = λ −

λ .

− λ -

Лемма

Если

= λ − λ

λ − λ 2 …

λ − λ …

характеристический многочлен ,

то

λ = λ − λ

1 λ

− λ 2

… −λ

… λ

−

- характеристический многочлен .

Лемма 3. Если подпространство инвариантно относительно оператора , то оно

инвариантно и относительно оператора .

Если ,

т.е. = = − λ = + λ .

2) Разложение оператора в прямую сумму нильпотентного и обратимого операторов.

Из λ

следует,

что - вырожденный оператор (имеет нулевое собственное

значение), но не нильпотентный (т.к. имеет ненулевое собственное значение).

Пусть

= ker ,

= im ,

то

= ,

; ,

инвариантны относительно и оператор | -

нильпотентный,

обратимый.

Билет 1.9 Корневые векторы и их простейшие свойства. Корневые подпространства.

Билет 1.10. Канонический базис корневого подпространства. Построение

Структура корневого подпространства. Теорема о расщеплении линейного

жордановой цепочки. Матрица индуцированного оператора в каноническом базисе.

оператора. Следования из теоремы.

3) Структура корневого подпространства. Рассмотрим

- корневое подпространство , отвечающее собственному значению λ .

а) 1

–

состоит из корневых векторов высоты ≤ 1, т.е. совпадает с собственным

= − λ (сдвиг оператора)

подпространством:

dim = – геометрическая кратность λ .

= ker

= dim

= rang

= dim im

б) – состоит из корневых векторов высоты ≤ 2,

… – состоит из корневых

Построим корневое подпространство

векторов высоты ≤ ,

(всех высот)

- максимальная высота корневого вектора,

Надо найти то

, начиная с которого

, при этом:

= <

< <

отвечающего собственному значению λ ,

, следовательно,

цепочка имеет

= = dim

; =

алгебраическая

кратность

λ = dim

(

вид

)

а) λ

- инвариантно относительно (т.к. инвариантно относительно (лемма 3);

Строим базис

последовательно просматривая подпространства ,

, … ,

− λ 1

− λ 2 …

λ − λ …

− λ ,

−1

б)

если

= λ

то

(в обратном порядке).

характеристический многочлен |

имеет вид

λ − λ

;

До : , , … ,

- векторы, дополняющие базис

до :

−1

в) dim

= (следствие 3 Т7.3).

1) , , … ,

– корневые, высоты , т.к. − λ

= ;

Замечание.

Из

цепочки

следует,

что

2) количество

−

−1

;

максимальная

высота

корневых

подпространств,

отвечающих

собственному

−

−1

−

−1

−

= −

+ 2

−

−1

значению λ , совпадает с индексом нильпотентности оператора − λ .

т.к. +1 = ;

Теорема 8.1 (о расщеплении линейного оператора) Если - линейный оператор,

4) никакая линейная комбинация

, , … ,

не принадлежит

. Такие

− λ 2

−1

действующий в комплексном пространстве и λ

= λ

− λ

… λ −

векторы называются линейно независимыми над

−1

… λ − λ

его

характеристический

многочлен

λ ≠ λ , ≠ ,

то

До

Построим

, , … ,

корневые,

высоты

− 1

- линейно

−1

пространство разлагается в прямую сумму его корневых подпространств:

независимы над

. Дополним эти векторы векторами , , … ,

так,

λ1

λ2

… λ .

−2

1 2

−1

чтобы вектора , , … ,

, , , … ,

дополняли произвольный базис

По индукции по . = 1

= λ1 .

1 2

−1

−2

до базиса

Пусть

теорема верна для оператора,

имеющего

− 1

различных собственных

−1

1) они корневые высоты − 1;

значений. Докажем для .

2) их количество −1

− −2;

: =

( = im − λ

Выделим

корневое

подпространство

−

= −

+ 2

−

;

−1

−2

−1

−2

= ;

- инвариантно относительно − λ

(лемма

−1

Обозначим

4) они линейно независимы над

инвариантно относительно .

−2

До

Аналогично:

2 , 2 , … , 2

, , , … ,

корневые,

высоты

2 λ = λ1 − λ 1 λ2 − λ 2 … λ − λ

−1

−2

−1

1 = | 1

… λ−1 − λ

− 2 .

имеет

− 1

различных собственных значений, следовательно,

по индукции для

Выполняя далее такие же построения в

, … доходим до .

−3

него

1 = λ

… λ

−1

= λ

… λ

−1

До :

, −2 , −2 , … , −2

Следствие 1. Ненулевые корневые векторы оператора, отвечающие различным

−1 , −1 , … , −1

, … , , , … ,

, ,

−1

собственным значениям, линейно независимы

- дополяют до базиса 1:

Следствие 2. Для

в комплексном пространстве,

существует базис,

1) корневые высоты 1 – собственные;

котом его матрица имеет квазидиагонаьную форму, у которой число диагональных

2) их количество 1 = 1 − 0

0 = def 0 = 0 ;

клеток совпадает с числом различных собственных значений, а их размеры – с

3) 1

= 1

− 0

− 2

− 1

= −2 + 2 1 − 0;

алгебраической кратностью собственных значений, или, в матричной формулировке,

4) они линейно независимы.

любая квадратная комплексная матрица × эквивалентная квазидиагональной

Полученную за шагов систему векторов удобно объединить в таблицу, которую

матрице, обладает указанными выше свойствами.

будем называть жордановой лестницей:

Билет 1.10. Канонический базис корневого подпространства. Построение

Билет 1.11. Жорданов базис и жорданова нормальная форма оператора

жордановой цепочки. Матрица индуцированного оператора в каноническом базисе.

= −

Определение

10.1

Жордановой

матрицей (или матрицей, имеющей жорданову

2 − −1

нормальную форму) называется квазидиагональная матрица с клетками Жордана на

, , … ,

главной

диагонали.

Жордановым

базисом

для

называется

базис

пространства , в котором матрица оператора

имеет жорданову нормальную

− −1

форму.

= −

+ 2

−

Канонический базис корневого подпространства λ является жордановым

−1

−2

, , … ,

для оператора |

, а – его жордановой матрицей.

−1

−1 − −2

Пример. Если - нильпотентный оператор ( все λ = 0) существует одно

…

1 = −2 +

корневое подпространство можно найти жорданов базис.

2 1 − 0

Решим задачу в общем виде.

−1 , −1 , …

−2 , −2 ,

, … ,

Теорема

10.1

Пусть

комплексном

пространстве

его

, −1

… , −2

характеристический

многочлен

имеет

вид:

= λ1 − λ

λ2

− λ

… λ −

−1

1 = 1 − 0

λ …

λ − λ ,

λ ≠ λ , ≠

. Тогда в ЛП существует базис ,

в котором

Теорема 9.1 Построенная система векторов образует базис корневого

матрица оператора имеет жорданову нормальную форму:

подпространства λ

. а) количество векторов в системе:

1 +

2 − 1

+ +

−1

− −2

− −1

= = dim λ

;

…

, где , = 1,

имеют вид

матрицы

б) система векторов линейно независима.

От противного.

Рассмотрим линейную

…

комбинацию

векторов

применим

последовательно

−1, −2, …

оператора | λ

α −1 +

−1

+ + α

−1

= ,

где

в каноническом базисе.

Согласно

Т8.1

(о

расщеплении

линейного

оператора): =

λ1

λ2

, , … ,

корневые высоты

остальные

слагаемые

равны

нулю,

т.к. они

1 2

… λ −1

λ .

корневые векторы высоты < , следовательно,

−1

α + α

+ + α

1 1

качестве исходного

базиса возьмем совокупность

канонических базисов

α + α

+ + α

= α

= = α

= 0,

силу

линейной

корневых подпространств. Согласно Т1.2 матрица

имеет вид , где

- матрица

1 1

2 2

независимости , , … , .

оператора

| λ

1 2

Нумерация базиса: по столбцам жордановой клетки снизу вверх, сами столбцы в

Замечание

матрицы

линейного

оператора определена

произвольном порядке.

Жорданова форма

однозначно с точностью до порядка клеток Жордана.

Полученный

таким

образом базис

называется каноническим

(или жордановым)

Замечание 2. Для операторов простой структуры,

и только для них,

жорданова

базисом корневого подпространства λ .

форма совпадает с диагональной: λ

= λ , = 1, .

Приведение матрицы к жордановой форме.

Т.10.1 любая квадратичная комплексная матрица эквивалентна матрице,

имеющей жорданову форму.

Определение 10.2 Жорданова матрица, эквивалентная матрице , называется

жордановой нормальной формой матрицы .

Теорема 10.2 Две матрицы , ×

эквивалентны их жордановы формы

совпадают.

Привести

к жордановой нормальной форме значит найти невырожденную матрицу

и жорданову форму

такие,

что

−1 = ,

где

- матрица перехода от

исходного базиса к жорданову.

Билет 1.12. Многочлен от линейного оператора. Теорема Гамильтона – Кэли

Пусть - ЛП над , .

Теорема 11.3 (теорема Гамильтона – Кэли) Линейный оператор ,

Рассмотрим

+ + +

, , .

действующий в

комплексном

или вещественном пространстве,

является корнем

= + + +

Определение 11.1 Линейный оператор

называется

своего характеристического многочлена.

… λ

− λ -

многочленом от оператора или операторным многочленом.

Дано:

λ = λ − λ

− λ 2 … λ

− λ

Теорема 11.1 Пусть , 1

- операторные многочлены, тогда:

характеристический многочлен ;

∙ 1

= 1 ∙

(в частности: ∙ = ∙ )

= λ −

− 2

…

λ −

…

−

- оператор;

im ,ker

- подпространства,

инвариантные относительно .

= = , .

λ − 1

λ −

2 …

λ − …

−

2) im

: = =

∙ ;

Надо доказать, что

= - нулевой оператор.

im ;

Докажем для комплексного пространства ,

: = λ

ker = ,

… λ

ker .

−1

: =

+ + , где

, = 1, ,

Теорема 11.2

некоторый многочлен степени , λ0 - собственное значение

+ + .

0 - собственный вектор, отвечающий собственному значению λ0. Тогда

Произведения

операторе

0 - собственный вектор

оператора , отвечающий собственному значению

= λ1 − 1

λ2 − 2

…

λ −

…

λ −

перестановочны

, причем

ker

, если λ

= 0; im , если λ

≠ 0.

= + + + ;

(Т11.1), а

λ −

= = ,

= .

= + λ

+ + λ

2) - вещественное пространство, - любой базис (какой-нибудь)

пространства .

Если λ0

= 0

0 = 0

ker .

- матрица оператора.

- любое комплексное пространство: dim = dim , -

Если λ

≠ 0

im .

базис

Тогда

матрица некоторого

оператора

: =

их

λ0

многочлены совпадают и

= .

Замечание (матричная формулировка операторных свойств).

Определение 11.1′

Определение 11.2 Многочлен ( ) называется аннулирующим многочленом для ,

= + + + - многочлен от матрицы

если

= . Аналогично для матрицы.

Теорема 11.1′ ∙ 1

= 1

∙ .

Из теоремы ГамильтонаКэли следует, что существует аннулирующий

многочлен степени .

Определение 11.3 Многочлен ( ) наименьшей степени со старшим

коэффициентом

единица,

аннулирующий

называется

минимальным

многочленом для .

Минимальный

многочлен определен однозначно: 1

− 2( )

аннулирующий и имеет строго меньшую степень 1 − 2

= 0.

Теорема 11.4 Минимальный многочлен является делителем аннулирующего

многочлена.

От противного:

+ ( ), где ( ) ≡ 0 или deg ( ) < deg ( )

= − = − = − ( )

–

минимальный противоречие ( ) ≡ 0.

Замечание. С помощью жордановой формы легко вычислить минимальный

многочлен. Для

→

− λ

для

→

− λ

–

максимальный

размер жордановой клетки, отвечающий данному λ

− λ

Билет 1.13. Функции от матриц. Интерполяционный многочлен Лагранжа-

Билет 1.14. Вещественный аналог жордановой формы

Сильвестра.

Одно из важных приложений жордановой формы – вычисление функции от

Теорема 13.1 У всякого линейного оператора в комплексном пространстве

матриц (от линейных операторов). В п.11 определили ( ) - многочлен от матрицы.

существует одномерное инвариантное подпространство.

Если привести к - жордановой форме, то

−1

где

У , − над , существует хотя бы один собственный вектор ,

вычисляется просто, а - не зависит от

(зависит от ).

( ) - одномерное подпространство, инвариантное относительно .

Как определить функцию от матрицы?

Теорема

13.2

всякого л.о.

над

(в

вещественном

Пусть λ1, λ2, … , λ - собственные значения (спектр матрицы λ1, λ2, … , λ –

пространстве)

существует

одномерное

или

двумерное

инвариантное

все вещественны).

– максимальный размер жордановой клетки λ , = 1, .

подпространство.

Определение 12.1 Пусть ( ) - числовая функция. Говорят, что ( ) определена на

- вещественное пространство; =

, , … ,

- базис в .

спектре матрицы , если существуют значения: λ

′

, … ,

−1

, = 1, ,

= × (

→

которые называются значениями на спектре матрицы.

= det − λ

– многочлен с вещественными коэффициентами. Пусть

Замечание 1. Любой многочлен определен на спектре матрицы.

λ0 - корень λ .

Определение 12.2 Пусть ( ) - функция, определенная на спектре матрицы . Пусть

( ) - многочлен, значения которого на спектре

матрицы

совпадают

λ0 , λ0- собственное значение → - собственный вектор, отвечающий

соответствующими значениями ( ). Положим по определению: ( ) ≡ ( ).

с.з. λ0, ( ) - одномерное подпространство, инвариантное

( λ = λ ,

′

λ =

′

, … ,

−1

λ ) .

относительно .

λ0 λ0 = α + β, β ≠ 0, λ0

= α − β

тоже

корень

Существует

много многочленов,

совпадающих с

данной

функцией

на

спектре матрицы. Среди них выделим так называемый интерполяционный

характеристического

уравнения.

Рассмотрим

как

комплексную

Если ↓

многочлен Лагранжа – Сильвестра.

матрицу.

- собственный вектор -столбец, отвечающий с.з.

Определение 12.3 Пусть ( ) определена на спектре матрицы . Многочлен ( )

λ0: ↓ =

λ0 ↓, то ↓ = ↓: ↓ = λ0 ↓

степени меньшей, чем степень минимального многочлена матрицы , и

Векторы

↓

- линейно независимы, как собственные векторы,

совпадающий на спектре матрицы с функцией

( ),

называется

отвечающие различным собственным значениям.

интерполяционным многочленом Лагранжа – Сильвестра.

Обозначение: .

Пусть =

= + ,

Замечание 2. Можно показать,

что для

любой ,

определенной

на

спектре

↓

матрицы , интерполяционный многочлен

существует и единственен.

↓+ ↓

= +

= α + β +

↓ = α↓ − β↓ ,

↓

2 …

↓

= β + α

↓− ↓

Пусть ( ) определена на спектре матрицы ,

- жорданова

↓

↓ и ↓ - линейно независимы.

…

форма этой матрицы: = ∙ ∙ −1.

В векторной форме будем иметь. Пусть = ↓, = ↓. Системе уравнений

для ↓, ↓ соответствует система векторных уравнений:

Тогда = ∙

∙ −1, где

…

= α − β,

где ,

одновременно не

обращаются

(линейно

= β + α

( , )

инвариантное

подпространство,

…

независимы). Следовательно,

dim ( , ) = 2.

Вещественный аналог жордановой формы.

в вещественном

пространстве (dim = ),

= det − λ

–

многочлен с вещественными коэффициентами.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 3 семестр экзамен

#
10.05.20141.08 Mб25Algebra_1_razdel.pdf
#
10.05.2014686.64 Кб27Algebra_2_razdel.pdf
#
10.05.2014806.96 Кб35Algebra_3_razdel.pdf