3 семестр экзамен / Algebra_2_razdel

Билет 2.1. Билинейные (полуторалинейные) формы в линейном пространстве.

Билет 2.1. Билинейные (полуторалинейные) формы в линейном пространстве.

Симметричные и кососимметричные билинейные формы.

Симметричные и кососимметричные билинейные формы.

Пусть - ЛП над ( ).

Теорема 2.1 Преобразование матрицы билинейной (полуторалинейной)

Определение 2.1 Оператор : × → называется билинейной формой,

формы при замене базиса.

если: , , , α, β :

Пусть - ЛП над ( ). =

, , … ,

, =

, , … ,

, =

. Тогда

1) α + β,

= α ,

+ β , ,

1

2

1

2

→

=

=

.

2) , α + β

= α ,

+ β , .

Определение 2.1′

Оператор

: × →

называется полуторалинейной

, = = , = , = , = = =

формой, если , , , α, β :

↓

↓

↓

↓

↓

= .

1) α + β,

= α ,

+ β , ,

↓

2) , α + β

= α ,

+ β , .

, = = =

=

.

↓

↓

↓

Примеры: 1)

= , , ,

=

.

Следствие. rang

= rang

rang

= rang

.

, … ,

, ,

=

1

2

2) = , =

α

.

Определение 2.4 Рангом билинейной (полуторалинейной) формы называется

1

, =1

ранг ее матрицы в произвольном базисе.

3) , , ×[ , ], , [ , ], , =

, .

Обозначение: rang , .

Определение 2.2 1

= 2 , : 1

,

= 2 , .

Билинейная (полуторалинейная) форма называется вырожденной, если

1 = 2 ,

: 1

,

= 2 , .

rang , < dim , и невырожденной,

если rang ,

= dim .

Определение 2.3 Пусть =

, , … ,

- базис в (над )

Теорема 2.2 Пусть ЛП над ,

=

, , … ,

- базис в . Для любого

1 2

, =

,

=

,

- называется общим

1

2

набора

чисел

, , = 1,

существует

и

притом

единственная

=1

=1

, =1

видом билинейной формы в базисе .

билинейная форма ,

в , для которой

,

=

, , = 1, .

,

…

,

Пусть =

, , … ,

-

базис в ,

, , = 1, -

заданные числа.

1

1

1

Матрица

=

=

-

называется

матрицей

1

2

Зададим

отображение:

,

…

,

, : = , =

→ ,

=

-

оно

является

1

билинейной формы в базисе .

↓

↓

, =1

билинейной формой в силу линейности координат, причем

= , .

1

, =

=

, … ,

.

Покажем, что любая билинейная форма

( , ), для которой

= ,

↓

1

совпадает с , .

Определение 2.3′ Пусть =

, , … ,

- базис в (над )

, : , =

,

=

, =

1 2

=1

, =1

, =

,

- называется общим видом полуторалинейной

=1

= , .

, =1

, =1

формы в базисе .

Теорема

2.3

Существует

взаимооднозначное

соответствие

между

,

…

,

множеством всех билинейных форм в

- мерном вещественном ЛП и

=

1

1

1

Матрица

-

называется

матрицей

множеством вещественных матриц × .

,

…

,

Пусть = , , … ,

- базис в . Любой билинейной форме поставим в

1

полуторалинейной формы в базисе .

1

2

соответствие

- матрицу билинейной формы в базисе =

, , … , .

1

2

Это отображение сюръективно (Т2.2) и инъективно (различные билинейные

формы имеют различные матрицы).

Билет 2.2 Матрица билинейной (полуторалинейной) формы и ее преобразование

Билет 2.3. Квадратичные формы в линейном пространстве. Матрица квадратичной

при переходе к другому базису.

формы. Ранг квадратичной формы. Полярная билинейная форма.

Определение 3.1 Билинейная форма называется симметричной, если ,

Определение 4.1 − ЛП над , ,

- симметричная билинейная форма в над

: , = ,

и кососимметричной, если , = − , .

. Квадратичной формой называется

отображение

: × ,

такое, что

Теорема

3.1

Любую

билинейную

форму

можно единственным образом

→ , . Обозначение: ,

= .

представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейной

Билинейная форма ,

называется полярной к квадратичной форме , .

Теорема

4.1

Полярная

билинейная форма

для любой квадратичной

формы

формы.

определена однозначно.

, =

1

, + ,

+

1

, − , .

+ , + = , + , + , + , , , = ,

2

2

1

, =

1

, + ,

1 , = 1 , ;

, =

1

+ , + − , − , .

2

2

2

,

=

1

,

− ,

2

, = −2 , .

Полярная билинейная форма однозначно восстанавливается по квадратичной форме.

2

Единственность полярной формы позволяет переносить ее характеристики на

Пусть существует другое представление: ,

= 1′ , + 2′ ,

квадратичную форму.

′ ,

+

2

′ ,

=

,

+

2

,

′

, −

,

=

Определение

4.2

Матрицей

квадратичной

формы

в

базисе =

, , … ,

1

1

1

1

1

2

2

,

− 2′ , симметричная форма = кососимметричная форма.

называется матрица полярной к ней билинейной формы , в этом базисе.

Билинейная

форма,

которая

одновременно

является

симметричной

и

Из свойств билинейной формы вытекают свойства квадратичной формы.

кососимметричной – это нулевая билинейная форма. единственность.

1) Матрица квадратичной формы симметрична:

= .

Теорема

3.2

Билинейная

форма

симметрична

(кососимметрична)

ее

2) Любая симметричная матрица

является матрицей единственной квадратичной

матрица в произвольном базисе симметрична (кососимметрична).

формы в заданном базисе.

3)

= .

« » непосредственная проверка:

=

, , … ,

,

записана в виде: ,

=

= ,

= ,

=

симметрична;

4) В

базисе

может

быть

1

2

- называется общим видом квадратичной формы

=

=

= ,

= − ,

= −

кососимметрична.

, =1

↓

в базисе .

« » =

, , … ,

- базис в ,

Выражение , … ,

=

,

=

называется квадратичной формой

1

2

, =1

-

симметричная

матрица:

=

, = =

=

1

от переменных

, … , .

↓

↓

=

= , ;

1

5) Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы в произвольном базисе:

↓

↓

= −

-

кососимметричная

матрица:

,

= =

rang ,

= rang ,

= rang .

=

↓

Квадратичная

форма

называется

вырожденной, если

rang ,

< dim ,

и

= − = − , .

↓

↓

↓

невырожденной, если rang

,

= dim .

Выбирая

подходящим

образом

базис

, можно менять вид матрицы ее

квадратичной формы, и, следовательно, ее общий вид.

Определение

4.3

Базис

=

, , … ,

называется

каноническим

базисом

1

2

квадратичной формы , , если матрица квадратичной формы в этом базисе

λ1

0

диагональна:

=

.В каноническом базисе квадратичная форма имеет

0

λ

= λ 2

вид ,

+ + λ

2,

которая называется каноническим (диагональным)