5.Свойства определителей (перемена местами двух строк, определитель с двумя равными строками и свойства линейности).

1) Определитель транспонированной матрицы равен определи­телю исходной матрицы, т. с. det A^T = det A.

2) Если поменять местами две строки (два столбца) определите­ли, то он изменит знак.

3) Если определитель содержит две одинаковых строки (два оди­наковых столбца), то он равен нулю.

4) Если определитель содержит нулевую строку (нулевой стол­бец), то он равен нулю.

5) Общий множитель в строке (в столбце) можно выносить за знак определителя.

6) Определитель не изменится, если к любой строке прибавить (из любой строки вычесть) любую другую строку, умноженную на любое число. Аналогичное свойство верно и для столбцов.

6. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение. Теорема о разложении определителя по столбцу (строке).

Минор — это определитель, полученный вычеркиванием строки или столбца. Базисный минор — любой минор r порядка м-ы А отличный от 0. Минором Мij матрицы A, n*n, называется определитель, полученный вычеркиванием i строки и j столбца из матрицы А. Минор, взятый с определенным знаком называется алгебраическим дополнением элемента. Aij = (-1) ^(i + j) Mij

------------------------

Рассмотрим матрицу A:

Вычеркнем из матрицы k строк с номерами i1, i2, ..., ik и k столбцов, с номерами j1, j2, ..., jk.

Элементы, расположенные на пересечении вычеркнутых строк, образуют определитель, который называется минором порядка k. Его обозначают Mk:

Минор, образованный оставшимися элементами называется дополнительным минором минора Mk и обозначают Mk'.

Алгебраическим дополнением Ak минора Mk называется число, равное дополнительному минору Mk', умноженному на (−1) в степени, равной сумме номеров вычеркнутых строк и столбцов:

Если вычеркнуты одна строка и один столбец, то соответствующие миноры и алгебраические дополнения называют минорами и алгебраическими дополнениями элемента.

-Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого порядка.

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

-Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим сумму произведений всех элементов произвольной k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой, скажем, i-ой строки матрицы А. Пусть A′ – матрица, у которой все строки, кроме i-ой, такие же, как у матрицы А, а элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матрицы А. Тогда у матрицы A′ две одинаковые строки и, следовательно, по свойству матрицы об одинаковых строках имеем, что |A′| = 0 . С другой стороны, по следствию 1 определитель |A′| равен сумме произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения. Заметим, что алгебраические дополнения элементов i-ой строки матрицы A′ совпадают с алгебраическими дополнениями соответствующих элементов i-ой строки матрицы А. Но элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матри- цы А. Таким образом, сумма произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения с одной стороны равна нулю, а с другой стороны равна сумме произведений всех элементов k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов i-ой строки матрицы А.