1 раздел вопросов к экзамену

Эллипс

Определение: геометрическое место точек т.ч. сумма расстояний до 2 фиксированных точек есть величина постоянная, большая, чем расстояние между (обозначается 2а)

- фокусы эллипса; || - фокусное расстояние (обознач. 2с)

a>c; – фокальные радиусы;Декартова прямоугольная с/к. (Рисунок на обороте)

Теорема. В декартовой с/к каноническое уравнение эллипса имеет вид

Покажем, что нет лишних точек.

=

Свойства эллипса, вытекающие из канонического уравнения

1» Оси Ох, Оу – оси симметрии ()a и b – полуоси эллипса

2» – точки эллипса не выходят за прямоуг. Касательные ⊥

3»Эллипс симметричен относительно Ох

Определение: эксцентриситет ;; если = 0 => окружность; ;Определение: директриса эллипса

Теорема: Эллипс, не являющийся окружностью есть геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до фиксированной точки F к расстоянию до фиксированной прямой d, не проходящей через данную точку F, есть величина постоянная < 1; (Рисунок)

Доказательство Пусть

Гипербола

Определение: гиперболой называется геометрическое место точек для которых абсолютная величина разности расстояний до 2-х фиксированных точек есть величина большая, чем расстояние между (обозначается 2а) - фокусы гиперболы; || - фокусное расстояние (обознач. 2с)

a>c; – фокальные радиусы;

Каноническая с/к – декартова прямоугольная с/к. Рис.7

Теорема: В канонической с/к уравнение гиперболы имеет вид

;

Свойства гиперболы, вытекающие из канонического уравнения

1»Ох, Оу – оси симметрии, т. О – центр симметрии; - т. пересечения с осями; Точек пересечения с Оу нет; Ох – вещественная ось, Оу – мнимая.

2»; ; Рис.8

Определение ;Рис.9

Гипербола есть геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до точки к расстоянию до данной прямой , не проходящей через , есть величина постоянная .

Парабола

Геометрическое место точек, для которых расстояние до некоторой фиксированной т. равно расстоянию до фиксированной прямой , не проходящей через т. ; ;F - фокус параболы; d – директриса параболы; p – расстояние от F до d(фокальный параметр параболы)

Каноническая с/к. Рис.10; Теорема: В канонической с/к каноническое уравнение параболы имеет вид ;; Рис.11

Свойства

1»Ох – ось симметрии; т.О – вершина параболы

2»

Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы

Рис.1,Рис.2,Рис.3,Рис.4,Рис.5 ;Общее уравнение ;Рис.6

Общее уравнение линий 2-го порядка. Преобразование коэффициентов уравнения линии 2-го порядка при параллельном переносе и повороте декартовой с/к

Преобразование коэффициентов линии 2-го порядка при переходе к новой с/к

1»Параллельный перенос

2»Поворот на

;

Инварианты уравнения линии 2-го порядка. Понятие типа линии 2-го порядка.

Определение: инвариантом уравнения линии 2-го порядка относительно преобразования декартовой с/к называется такая, зависящая от коэффициентов уравнения линии 2-го порядка, значение которой не меняется при переходе к новой декартовой с/к;

Теорема: Величины – инварианты для линий 2-го порядка

;;

Доказательство для - очевидно, т.к. не меняется

=

Доказательство для поворота

;; – не зависит от

– эллиптический тип; – параболический тип;- гиперболический тип

Упрощение уравнения линий 2-го порядка.

1»Параллельный перенос

⇔- уравнение центра

Если - центр симметрии; центральные линии.

2»Поворот

⇒

Упрощение уравнения центральной линии 2-го порядка. Классификация центральных линий.

; - центр

; Теорема: пусть уравнение эллиптического типа и уравнение нормировано т.ч. , тогда при - уравнение эллипса, – точка, – уравнению не удовлетворяет ни одна точка – мнимый эллипс.

Упрощение линий параболического типа. Классификация линий параболического типа.

линия параболического типа. Для докажем. Пусть , ; ; - линия 2-го порядка(противоречие)

1» Преобразование поворота(стандартное упрощение)

А)Если ничего делать не надо

Б)⇒поворот один из них 0

;

;

Уравнение параболического типа; – представляет собой параболу, при – пара параллельных действительных прямых(которые могут совпадать) или пару мнимых параллельных прямых. Доказательство:

1» или ;=0;

2» ;

A» – пара слившихся прямых

Б» – пара параллельных прямых

В»- пара мнимых параллельных прямых

Понятие поверхности 2-го порядка. Центр поверхности 2-го порядка. Понятие центральной поверхности 2-го порядка.

1»Параллельный перенос

2»Стандартные упрощения

Классификация центральных поверхностей 2-го порядка

Параллельный перенос + стандартное упрощение

1) – одного знака

A»(>0) – мнимый эллипсоид

Б»противоположен по знаку эллипсоид

В» - вырожденный эллипсоид

2»– одного знака, – противоположного. – двухполостной гиперболоид

3» – одного знака, противоположного - однополостной гиперболоид

4» – одного знака, противоположного конус 2-го порядка

Классификация нецентральных поверхностей 2-го порядка

– гиперболический параболоид; – стандартное упрощение; один из ненулевых обращается в 0; 1»

А»; ; – пара пересек. плоскостей, – пара мнимых пересек. плоскостей

Б»; - эллиптический цилиндр; – гиперболический цилиндр

В» – параболоид; – эллиптический гиперболоид

– гиперболический параболоид

2)из ,