Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела.
Функция не может иметь более одного предела.
Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
Пример.
.
3. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
.
Пример:
.
Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
Примеры.
1.)
.
2.)
.
3.)Рассмотрим
.
При x→1
числитель дроби стремится к 1, а знаменатель
стремится к 0. Но так как
,
т.е.
есть
бесконечно малая функция при x→1,
то
.
Замечательные пределы
Первым
замечательным пределом называется
Вторым замечательным
пределом:
или
Число
.
Точнее
…,
т.е является числом иррациональным.
Играет весьма важную роль в математическом
анализе. Широко используются логарифмы
по основанию
,
называемые натуральными.
Сравнение бесконечно малых величин
Как известно сумма, разность и произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б\м ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, б\м ф. или вообще не стремиться ни к какому пределу.
Две б\м ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть
и
есть б\м
ф. при
.
Рассмотрим их отношение.
Выделим 4 случая:
1)
если
.
В этом случае говорят, что
- бесконечно малая более высокого
порядка, чем
.
Пример:
,
т.е.
бесконечно малая более высокого порядка
чем
.
2)
если
(где
-
число). В этом случае функции называются
б\м одного и того же порядка.
Пример:
,
т.е
и
являются б\м одного порядка малости.
3)
если
в этом случае говорят, что
-
бесконечно малая более низкого порядка,
чем
.
Пример:
; при
б\м более низкого порядка чем
4)
если
не существует, то
и
называются несравнимыми бесконечно
малыми функциями.
Пример:
Можно ли сравнить функции
и
при
?
Нет, т.к. предел
не существует.
А теперь про самое главное:
Определение:
Если функции
и
б\м одного и того же порядка, причем
,
то они называются эквивалентными б\м.
Символически это
записывают так:
.
или
таким образом
и
,
и
являются эквивалентными б\м.
Теорема: Если существует предел отношения двух бесконечно малых функций и , то он равен пределу отношения соответствующих им эквивалентных бесконечно малых.
Теорема: Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
Т.е
или
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. и есть бесконечно малая высшего порядка, чем и , то и эквивалентные б.м.ф.
Теорема: Сумма конечного числа б.м.ф. разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Пример:
Таблицы эквивалентных бесконечно малых в любом математическом справочнике.