Тождества

• 

• (правило симметрии).

• 

• Следствия тождества :

  • 

  • 

• для .

• Это тождество можно усилить

• 0<a<n

• a>=n

• если — более общий вид тождества выше.

• 

• 

• (свёртка Вандермонда).

• —m-ое гармоническое число.

• Мультисекция ряда даёт тождество, выражающее сумму биномиальных коэффициентов с произвольным шагомs и смещением t в виде замкнутой суммы изs слагаемых:

Асимптотика и оценки

• 

• при

• , при

где

• 

Алгоритмы вычисления

Биномиальные коэффициенты могут быть вычислены с помощью формулы , если на каждом шаге хранить значенияпри. Этот алгоритм особенно эффективен, если нужно получить все значенияпри фиксированном. Алгоритм требуетпамяти (при вычислении всей таблицы биномиальных коэффициентов) ивремени (в предположении, что каждое число занимает единицу памяти и операции с числами выполняются за единицу времени).

При фиксированном значении k биномиальные коэффициенты могут быть вычислены по рекуррентной формуле с начальным значением. Для вычисления значенияэтот метод требуетпамяти ивремени.