11. Принцип включения и исключения. Теорема о сумме весов элементов, не обладающих ни одним из заданных свойств. Доказательство.

v(S_i)- вес элемента S;

_…–выборка свойств из Р1 …РN

V(_…) – сумма весов элементов, обладающих всеми из заданных свойств.

сумма весов для всех выборок

(psпоследняя формула не точно, общий материал взят из леций Гусева)

12. Принцип включения и исключения. Теорема о числе элементов, обладающих в точности r-свойствами из n–множества свойств. Доказательство.

Теорема:

Доказательство.

Пусть некоторый элемент _i имеет вес v(S_i) и удовлетворяет в точностиt свойствам p_i1… p_it изR.

Возможно 3 случая

1. t< Rвес этого элемента в подсчете не участвуют, вносится 0

2. t=Rв правую часть вносит свой собственный вес

3. t> R вносит свой весv(S_i):

Так как: )

Тогда выражение в скобках равно 0, так как оно является частным случаем разложением бинома Ньютона.

13. Задача о беспорядках. Теорема о числе беспорядков из элементов n–множества. Доказательство. Следствия.

Пусть имеется конечное упорядоченное множество элементов {1,…, n}. Из этих элементов могут быть образованы перестановкиa₁,…,a_n(a_i{1,…,n}). Число всех возможных перестановок –n!. Среди этихn! перестановок есть такие, что ни один элемент не стоит на своём месте (a_ii, i=). Иначе говоря, элемент номер 1 не стоит на 1-ом месте, элемент номер 2 не стоит на 2-м месте, и т.д., элемент номерnне стоит наn-м месте. Такие перестановки называютсябеспорядками.

Число беспорядков из nэлементов обозначаетсяD_n(ясно, чтоD_n<n!).

Теорема. Число беспорядков изnэлементов равно:

.

Доказательство

Обозначим через свойство p_i– «i-й элемент стоит наi-м месте». Тогда по формуле решета.

Общее число перестановок nэлементов –n! Число перестановок, гдеi-й элемент стоит наi-м месте, равно (n-1)! (ставимi-й элемент наi-е место, а оставшиесяn-1 элементы переставляем (n-1)! способами). При этом самi-й элемент можно выбратьспособами. Таким образом, число перестановок, где хотя бы по одному элементу стоит на своём месте, равно.

Число перестановок, где i-й элемент стоит наi-м месте, аj-й наj-м (ij), равно (n-2)!, при этомi-й иj-й элементы можно выбратьспособами. Таким образом, число перестановок, где хотя бы два элемента стоят на своих местах –.

Аналогично, число перестановок, где на своих местах стоят хотя бы три элемента – . Число перестановок, где на своих местах стоят хотя быrэлементов –. Число перестановок, где все элементы стоят на своих местах. Подставляем в формулу решета:

Следствие 1.

Так как ,

то .

Следствие 2.

Так как , то.

15 Функция Эйлера

Функция Эйлера φ(n), гдеn– натуральное число, дает количество натуральных чисел, не превышающихnи взаимно простых сn. Иначе говоря,φ(n)=k, где 0<kn; (k,n)=1.

Теорема

, гдеp_i– все простые делителиn. (- произведение по всем простым делителям числаn).

# В теореме Лежандра заменим a_iнаp_i, гдеp_i– простые делителиn.

Тогда (так какp_iделятnнацело).

По теореме Лежандра

. #

Пример. Определим, сколько чисел, не превышающих 100, взаимно простые с 100. Разложим число 100 на простые сомножители: 100=2·2·5·5=2²5². Таким образом, у числа 100 два простых делителя – 2 и 5. По формуле Эйлера получаем

.

Таким образом, среди первой сотни есть 40 чисел, взаимно простых с 100.