Занятие 5. Алгебраические многочлены и уравнения

Многочленом степени в комплексной области называется функция вида

,

(1)

где — коэффициенты многочлена (действительные или комплексные), причем , а — комплексная переменная.

Уравнение

(2)

называется алгебраическим уравнением -ой степени.

Основная теорема алгебры. Любой многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корень, который может оказаться комплексным.

Следствие: любой многочлен -ой степени имеет ровно комплексных корней (если каждый корень считать столько раз, какова его кратность).

Если коэффициенты многочлена (2) — действительные числа и — его комплексный корень, то сопряженное число также будет корнем этого многочлена.

Пример 1. Найти все корни уравнения .

Решение. Это квадратное уравнение относительно . Дискриминант . Отрицательный дискриминант означает, что действительных корней нет.

А комплексные корни можно найти по формуле .

Для этого надо извлечь корень .

Следовательно, , то есть

, .

Ответ: и .

Задачи

1. Решить квадратные уравнения в комплексных числах:

;	;
;	.

2. Решить двучленные уравнения с помощью формулы Муавра:

;	;
;	.

3. Найти корни многочлена и записать его разложение на множители:

;

;

.

4. Разложить многочлен на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами

;

.

Ответы

Задачи

1. а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

2. а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , , .

3. а) ;

б) ;

в) .

4. а) ;

б) .