Занятие 2. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Геометрическое изображение комплексного числа

Комплексные числа могут быть изображены геометрически. Комплексное число изображается точкой на координатной плоскости или радиус-вектором этой точки. При этом ось называется действительной осью и обозначается , а ось — мнимой осью и обозначается .

Аргумент и модуль комплексного числа

Мы знаем, что точку можно задать не только в декартовой системе координат, но и в полярной, то есть с помощью угла и расстояния. Точно так же можно задать и комплексное число.

Действительное число, равное , называется модулем комплексного числа .

Модуль комплексного числа равен длине радиус-вектора комплексного числа (расстоянию от 0 до точки, изображающей комплексное число на плоскости).

А величина равна расстоянию между точками, обозначающими комплексные числа и .

Угол , образованный радиус-вектором комплексного числа и действительной осью комплексной плоскости, называется аргументом комплексного числа.

Аргумент комплексного числа обозначается . Любое комплексное число имеет бесконечно много аргументов, отличающихся на , где . Значение аргумента, удовлетворяющее условию , называется главным значением аргумента и обозначается .

В некоторых учебниках за главное значение аргумента принимают угол . Это влияет только на запись ответа в примерах и никак не влияет на сам результат (меняется только форма записи).

По рисунку легко определить, как связаны координаты , комплексного числа с его аргументом и модулем:

, ;	(1)
, .	(2)

Пример 1. Найти главное значение аргумента комплексного числа .

Решение. Модуль числа , аргумент числа найдем из соотношения .

Ответ: , .

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа

Из формул (2) следует, что любое комплексное число может быть записано в виде

, где .

(3)

Выражение (3) называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Если воспользоваться формулой Эйлера

,

(4)

то от тригонометрической формы записи комплексного числа можно перейти к показательной форме:

.

(5)

Необходимо уметь переводить комплексные числа из одной формы записи в другую. В алгебраической форме легко выполнить операции сложения и вычитания, но очень сложно извлечь даже квадратный корень. А если работать с показательной формой комплексного числа, то извлечение корня любой степени — тривиальная задача.

Задачи

1. Изобразите на комплексной плоскости числа:

2. Найдите модуль комплексного числа:

3. Найти главное значение аргумента комплексного числа:

*Считать главным аргумент .

4. Представьте комплексное число в тригонометрической форме:

5. Запишите комплексное число в показательной форме:

6. Изобразите число на комплексной плоскости:

7. Вычислить:

8. Представить числа в алгебраической форме и изобразить на комплексной плоскости:

Домашнее задание

1. Представить числа в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:

2. Представить числа в показательной форме:

3. Представить числа в алгебраической форме:

Ответы

Задачи

2. а) 18; б) 2; в) ; г) 5; д) 2.

3. а) 0; б) ; в) ; г) ; д) .

4. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

5. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

7. а) ; б) ; в) ; г) .

8. а) ; б) ; в) ; г) .

Домашнее задание

1. а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. а) ; б) ; в) г) .

3. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .