Занятие 3. Геометрические образы комплексных выражений

1. Изобразите на комплексной плоскости числа

,

.

2. Изобразить на комплексной плоскости множество точек , удовлетворяющих условию:

;	;
;	;
;	.

3.Построить геометрический образ, заданный выражениями:

;	;
;	;
;	.

Найти уравнение следующих кривых в декартовой системе координат и построить их на плоскости:

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

Ответы

2.

а)	б)
в)	г)
д)	е)

3.

а)	б)
в)	г)
д)	е)

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

Занятие 4. Действительная степень комплексного числа и извлечение корня -ой степени. Формула Муавра

Комплексное число, представленное в показательной форме, легко возвести в любую степень. Пусть , тогда

.

(1)

Пример 1. Вычислить .

Решение. Вместо того чтобы 6 раз перемножать скобку на саму себя, представим число в показательной форме и воспользуемся формулой Муавра возведения в степень:

.

Теперь переведем результат обратно в алгебраическую форму:

.

Ответ: .

Формула извлечения корня

Пусть — фиксированное комплексное число. Тогда уравнение , имеет ровно различных решений. Это утверждение является следствием основной теоремы алгебры.

При извлечении корня -ой степени из комплексного числа должны быть получены различных значений .

Эти значения , , …, могут быть вычислены по формуле

.

(2)

Эту формулу легко запомнить, пользуясь символьным правилом и тем, что для получения необходимо к аргументу числа прибавить .

Пример 2. Найти все корни 3-ей степени из комплексного числа .

Решение. Переведем число в показательную форму и воспользуемся формулой извлечения корня

, то есть,

,

,

.

Если отметить все корни -ой степени на комплексной плоскости, то эти корни будут вершинами правильного -угольника. В данном случае, например, получится правильный треугольник.

Задачи

1. Вычислить выражение и представить результат в алгебраической форме:

2. Найдите и изобразите на комплексной плоскости все корни n-ой степени:

Ответы

1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) 1.

2. а) ; б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .